Question

19．如圖，已知拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），對(duì)稱軸是直線x=1，直線BC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)△ABM的面積等于△ABC的面積時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)
（3）點(diǎn)E為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，CE的垂直平分線交CE于點(diǎn)F，交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P在第三象限．
①當(dāng)線段PQ=$\frac{3}{4}$AB時(shí)，求∠CED的余切值；
②點(diǎn)G是直線x=1上一點(diǎn)，當(dāng)△CEG與△AOC相似時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用對(duì)稱軸公式即可得出b的值，再利用拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），求出拋物線解析式即可；
（2）分兩種情形①過C作AB的平行線，交拋物線于M₁，此時(shí)△M₁AB與△ABC的面積相等．點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′（0，3），過C′作x軸的平行線，與拋物線交于點(diǎn)M₂，M₃，此時(shí)M₂，M₃也滿足條件，
（3）①首先求出直線BC的解析式，進(jìn)而得出D點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出EG和DG的長進(jìn)而求出即可；根據(jù)相似三角形的相似條件畫出圖形即可解決問題．

解答 解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
∴-$\frac{2a}$=-$\frac{2}$=1，
∴b=-2
∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），
∴c=-3，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=x²-2x-3；

（2）如圖1中，

∵拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，
當(dāng)y=0時(shí)，x²-2x-3=0．
∴x₁=-1，x₂=3．
∵A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)，
∴A（-1，0），B（3，0）
①過C作AB的平行線，交拋物線于M₁，
此時(shí)△M₁AB與△ABC的面積相等．
根據(jù)對(duì)稱性可知點(diǎn)M₁坐標(biāo)為（2，-3），
②點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′（0，3），過C′作x軸的平行線，與拋物線交于點(diǎn)M₂，M₃，
此時(shí)M₂，M₃也滿足條件，
對(duì)于拋物線y=x²-2x-3，
當(dāng)y=3時(shí)，x²-2x-3=3，解得x=1$±\sqrt{7}$，
∴M₂（1-$\sqrt{7}$，3），M₂（1+$\sqrt{7}$，3）．
綜上所述滿足條件的點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，-3）或（1-$\sqrt{7}$，3）或（1+$\sqrt{7}$，3）．

（3）如圖2中，

①∵AB=4，PQ=$\frac{3}{4}$AB，
∴PQ=3
∵PQ⊥y軸
∴PQ∥x軸，
則由拋物線的對(duì)稱性可得PM=$\frac{3}{2}$，
∵對(duì)稱軸是直線x=1，
∴P到y(tǒng)軸的距離是 $\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$，
∴P（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{7}{4}$）
∴F（0，-$\frac{7}{4}$），
∴FC=3-OF=3-$\frac{7}{4}$=$\frac{5}{4}$∵PQ垂直平分CE于點(diǎn)F，
∴CE=2FC=$\frac{5}{2}$，
∵點(diǎn)D在直線BC上，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y=-2，則D（1，-2），
過點(diǎn)D作DG⊥CE于點(diǎn)G，
∴DG=1，CG=1，
∴GE=CE-CG=$\frac{5}{2}$-1=$\frac{3}{2}$．
在Rt△EGD中，tan∠CED=$\frac{GD}{EG}$=$\frac{2}{3}$．

②如圖3中，當(dāng)△CEG與△AOC相似時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，$\frac{1}{3}$） 或（0，0）或（0，-$\frac{8}{3}$）或（0，-$\frac{10}{3}$）或（0，-6）或（0，-$\frac{19}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題型以及直角三角形的性質(zhì)和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)，利用直角三角形的性質(zhì)得出a的值是解題關(guān)鍵，學(xué)會(huì)分類討論的思想解決問題，注意最后一個(gè)問題答案比較多，考慮問題要全面，屬于中考?jí)狠S題．