Question

2．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)B作BP∥AC，過點(diǎn)C作CP∥BD，BP與CP相交于點(diǎn)P．
（1）判斷四邊形BPCO的形狀，并說明理由；
（2）若將平行四邊形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，得到的四邊形BPCO是什么四邊形，并說明理由；
（3）若得到的是正方形BPCO，則四邊形ABCD是正方形．（選填平行四邊形、矩形、菱形、正方形中你認(rèn)為正確的一個）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩組對邊互相平行，即可得出四邊形BPCO為平行四邊形；
（2）根據(jù)菱形的對角線互相垂直，即可得出∠BOC=90°，結(jié)合（1）結(jié)論，即可得出四邊形BPCO為矩形；
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出OB=OC，且OB⊥OC，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出OD=OB，OA=OC，進(jìn)而得出AC=BD，再由AC⊥BD，即可得出四邊形ABCD是正方形．

解答 解：（1）四邊形BPCO為平行四邊形，理由如下：
∵BP∥AC，CP∥BD，
∴四邊形BPCO為平行四邊形．
（2）四邊形BPCO為矩形，理由如下：
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，則∠BOC=90°，
由（1）得四邊形BPCO為平行四邊形，
∴四邊形BPCO為矩形．
（3）四邊形ABCD是正方形，理由如下：
∵四邊形BPCO是正方形，
∴OB=OC，且OB⊥OC．
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OD=OB，OA=OC，
∴AC=BD，
又∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD是正方形．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)以及矩形的判定，解題的關(guān)鍵是：（1）利用兩組對比互相平行的四邊形為平行四邊形得出四邊形BPCO為平行四邊形；（2）利用有一個直角的平行四邊形為矩形得出四邊形BPCO為矩形；（3）找出AC=BD且AC⊥BD．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，牢記各特殊圖形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．