Question

如圖，已知AB是OD的直徑，AM和BN是⊙O的兩條切線，點E是⊙O上一點，點D是AM上一點，連接DE并延長交BN于點C，連接OD、BE，且OD∥BE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AD=l，BC=4，求直徑AB的長．

Answer 1

考點：切線的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：計算題

分析：（1）連接OE，由OE=OB，利用等邊對等角得到一對角相等，再由OD與BE平行，得到一對同位角及一對內(nèi)錯角相等，等量代換得到∠AOD=∠OBE=∠OEB=∠EOD，再由OA=OE，OD=OD，利用SAS得到三角形AOD與三角形EOD全等，由全等三角形對應(yīng)角相等得到∠OAD=∠OED，根據(jù)AM為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到∠OAD=∠OED=90°，即可得證；
（2）過點D作BC的垂線，垂足為H，由BN與圓O切線于點B，得到∠ABC=90°=∠BAD=∠BHD，利用三個角為直角的四邊形為矩形得到ADHB為矩形，利用矩形的對邊相等得到BH=AD=1，AB=DH，由BC-BH求出HC的長，AD、CB、CD分別切⊙O于點A、B、E，利用切線長定理得到AD=DE=1，EC=BC=4，在直角三角形DHC中，利用勾股定理求出DH的長，即為AB的長．

解答：（1）證明：連接OE，
在⊙O中，OA=OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
∵OD∥BE，
∴∠AOD=∠OBE=∠OEB=∠EOD，
在△AOD和△EOD中，

OA=OE ∠AOD=∠EOD OD=OD

，
∴△AOD≌△EOD（SAS），
∴∠OAD=∠OED，
∵AM是⊙O的切線，切點為A，
∴BA⊥AM，
∴∠OAD=∠OED=90°，
∴OE⊥DE，
∵OE是⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：過點D作BC的垂線，垂足為H，
∵BN切⊙O于點B，
∴∠ABC=90°=∠BAD=∠BHD，
∴四邊形ABHD是矩形，
∴AD=BH=1，AB=DH，
∴CH=BC-BH=4-1=3，
∵AD、CB、CD分別切⊙O于點A、B、E，
∴AD=ED=1，BC=CE=4，
∴DC=DE+CE=1+4=5，
在Rt△DHC中，DC²=DH²+CH²，
∴AB=DH=

52-32

=4．

點評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．