Question

5．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OCDE的三個頂點分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．點A在DE上，以A為頂點的拋物線過點C，且對稱軸x=1交x軸于點B．連接EC，AC．點P，Q為動點，設運動時間為t秒．
（1）填空：點A坐標為（1，4），拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；
（2）在圖1中，若點P在線段OC上從點O向點C以1個單位/秒的速度運動，同時，點Q在線段CE上從點C向E以2個單位/秒的速度運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動．連接PQ，是否存在實數(shù)t，使得PQ所在的直線經(jīng)過點D，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；

（3）在圖2中，若點P在對稱軸上從點A開始向點B以1個單位/秒的速度運動，過點P作PF⊥AB，交AC于點F，過點F作FG⊥AD于點G，交拋物線于點Q，連接AQ，CQ．當t為何值時，△ACQ的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)可直接求得A點坐標，可設頂點式方程，把C點坐標代入可求得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)題意表示出P，Q點坐標，再利用待定系數(shù)法求出PQ所在直線解析式，進而將D點代入求出答案；
（3）先求得直線AC的解析式，可分別用t表示出P點和Q點的坐標，從而可求得FQ的長，可用t表示出△ACQ的面積，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．

解答 解：（1）∵拋物線對稱軸為x=1，
∴OB=1，
∵E點坐標為（0，4），
∴AB=OE=4，
∴A點坐標為（1，4），
可設拋物線解析式為y=a（x-1）²+4，
把（3，0）代入可解得a=-1，
∴拋物線解析式為y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3，
故答案為：（1，4）；y=-x²+2x+3；

（2）如圖1，過點Q作QF⊥OC于點F，
可得：QF∥EO，
則△QFC∽△EOC，
故$\frac{QF}{EO}$=$\frac{QC}{EC}$=$\frac{FC}{CO}$，
∵CO=3，EO=4，QC=2t，
∴解得：QF=$\frac{8}{5}$t，F(xiàn)C=$\frac{6}{5}$t，
則Q（3-$\frac{6}{5}$t，$\frac{8}{5}$t），
P（t，0），設直線PQ的解析式為：y=dx+e，
則$\left\{\begin{array}{l}{dt+e=0}\\{（3-\frac{6}{5}t）d+e=\frac{8}{5}t}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{d=\frac{-8t}{11t-15}}\\{e=\frac{8{t}^{2}}{11t-15}}\end{array}\right.$，
故直線PQ的解析式為：y=$\frac{-8t}{11t-15}$x+$\frac{8{t}^{2}}{11t-15}$，
當PQ所在的直線經(jīng)過點D，
則4=$\frac{-8t}{11t-15}$×3+$\frac{8{t}^{2}}{11t-15}$，
整理得：2t²-17t+15=0，
解得：t₁=7.5（不合題意舍去），t₂=1，
故PQ所在的直線經(jīng)過點D，t的值為1；

（3）設直線AC的解析式為y=kx+b，
把A、C兩點坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-2x+6．
∵P（1，4-t），
∴將y=4-t代入y=-2x+6中，得x=1+$\frac{t}{2}$，
∴Q點的橫坐標為1+$\frac{t}{2}$．
將x=1+$\frac{t}{2}$代入y=-（x-1）²+4中，得y=4-$\frac{{t}^{2}}{4}$，
∴Q點的縱坐標為4-$\frac{{t}^{2}}{4}$．
∴QF=（4-$\frac{{t}^{2}}{4}$）-（4-t）=t-$\frac{{t}^{2}}{4}$．
∴S_△ACQ=S_△AFQ+S_△CFQ
=$\frac{1}{2}$FQ•AG+$\frac{1}{2}$FQ•DG
=$\frac{1}{2}$FQ（AG+DG）
=$\frac{1}{2}$FQ•AD
=$\frac{1}{2}$×2（t-$\frac{{t}^{2}}{4}$）
=-$\frac{1}{4}$（t-2）²+1．
∴當t=2時，△ACQ的面積最大，最大值是1．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、三角形面積求法、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點．在（1）中確定出A點坐標是解題的關(guān)鍵，在（3）中用t表示出QF是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度較大．