Question

14．如圖，已知梯形ABCD，AD∥BC，E是BC中點(diǎn)，F(xiàn)是AD中點(diǎn)．求證：直線(xiàn)AB、CD、EF交于一點(diǎn)P．

Answer 1

分析 假設(shè)直線(xiàn)AB、CD交于點(diǎn)P，直線(xiàn)AB、EF交于點(diǎn)P′．由AD∥BC，得出△PAD∽△PBC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出$\frac{PA}{PB}$=$\frac{AD}{BC}$，而AD=2AF，BC=2BE，那么$\frac{PA}{PB}$=$\frac{2AF}{2BE}$=$\frac{AF}{BE}$；由AF∥BE，得出△P′AF∽△P′BE，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出$\frac{P′A}{P′B}$=$\frac{AF}{BE}$，等量代換得到$\frac{PA}{PB}$=$\frac{P′A}{P′B}$，根據(jù)比例的性質(zhì)得出$\frac{PA}{AB}$=$\frac{P′A}{AB}$，又P、P′都在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，所以P、P′重合，從而證明直線(xiàn)AB、CD、EF交于一點(diǎn)P．

解答 證明：如圖，假設(shè)直線(xiàn)AB、CD交于點(diǎn)P，直線(xiàn)AB、EF交于點(diǎn)P′．
∵AD∥BC，
∴△PAD∽△PBC，
∴$\frac{PA}{PB}$=$\frac{AD}{BC}$，
∵AD=2AF，BC=2BE，
∴$\frac{PA}{PB}$=$\frac{2AF}{2BE}$=$\frac{AF}{BE}$；
∵AF∥BE，
∴△P′AF∽△P′BE，
∴$\frac{P′A}{P′B}$=$\frac{AF}{BE}$，
∴$\frac{PA}{PB}$=$\frac{P′A}{P′B}$，
∴$\frac{PA}{AB}$=$\frac{P′A}{AB}$，
又P、P′都在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，
∴P、P′重合，
∴直線(xiàn)AB、CD、EF交于一點(diǎn)P．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，比例的性質(zhì)，證明出$\frac{PA}{PB}$=$\frac{P′A}{P′B}$，再根據(jù)比例的性質(zhì)得出$\frac{PA}{AB}$=$\frac{P′A}{AB}$是解題的關(guān)鍵．