Question

7．如圖，在Rt△ABC中BC=AC=4，D是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ACD沿直線(xiàn)CD折疊，點(diǎn)A落在同一平面內(nèi)的A′處，當(dāng)A′D垂直于Rt△ABC的直角邊時(shí)，AD的長(zhǎng)為4$\sqrt{2}$-4或4．

Answer 1

分析 由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得出AB=4$\sqrt{2}$，∠B=∠A′CB=45°，①如圖1，當(dāng)A′D∥BC，設(shè)AD=x，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠A′=∠A=∠A′CB=45°，A′D=AD=x，推出A′C⊥AB，求得BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=2$\sqrt{2}$，DH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$A′D=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，然后列方程即可得到結(jié)果，②如圖2，當(dāng)A′D∥AC，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AD=A′D，AC=A′C，∠ACD=∠A′CD，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠A′DC=∠ACD，于是得到∠A′DC=∠A′CD，推出A′D=A′C，于是得到AD=AC=2．

解答 解：Rt△ABC中，BC=AC=4，
∴AB=4$\sqrt{2}$，∠B=∠A′CB=45°，
①如圖1，當(dāng)A′D∥BC，設(shè)AD=x，
∵把△ACD沿直線(xiàn)CD折疊，點(diǎn)A落在同一平面內(nèi)的A′處，
∴∠A′=∠A=∠A′CB=45°，A′D=AD=x，
∵∠B=45°，
∴A′C⊥AB，
∴BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=2$\sqrt{2}$，DH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$A′D=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+2$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$，
∴x=4$\sqrt{2}$-4，
∴AD=4$\sqrt{2}$-4；
②如圖2，當(dāng)A′D∥AC，
∵把△ACD沿直線(xiàn)CD折疊，點(diǎn)A落在同一平面內(nèi)的A′處，
∴AD=A′D，AC=A′C，∠ACD=∠A′CD，
∵∠A′DC=∠ACD，
∴∠A′DC=∠A′CD，
∴A′D=A′C，
∴AD=AC=4，
綜上所述：AD的長(zhǎng)為：4$\sqrt{2}$-4或4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換-折疊問(wèn)題，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．