Question

3．如圖，正方形ABCD中，AB=2，E為BC中點，兩個動點M和N分別在邊CD和AD上運動且MN=1，若△ABE與以D、M、N為頂點的三角形相似，則DM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 利用勾股定理列式求出AE，再根據(jù)DM與AB是對應(yīng)邊和與BE是對應(yīng)邊兩種情況，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式計算即可得解．

解答 解：∵E為BC中點，正方形ABCD的邊長AB=2，
∴BE=$\frac{1}{2}$×2=1，
在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵△ABE與以D、M、N為頂點的三角形相似，
∴①DM與AB是對應(yīng)邊時，則$\frac{AE}{MN}$=$\frac{AB}{DM}$，
即$\frac{\sqrt{5}}{1}$=$\frac{2}{DM}$，
解得DM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
②DM與BE是對應(yīng)邊時，則$\frac{AE}{MN}$=$\frac{BE}{DM}$，
即$\frac{\sqrt{5}}{1}$=$\frac{1}{DM}$，
解得DM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
綜上所述，DM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了相似三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，主要利用了相似三角形對應(yīng)邊成比例，難點在于分情況討論．