Question

3．已知點A，B分別在x軸的負半軸和正半軸上，OA，OB的長分別是一元二次方程x²-5x+6=0的兩個根，且OA＞OB，點C的坐標為（0，-4），點D在y軸上，直線AD平分∠CAB．
（1）求A，B兩點的坐標；
（2）求直線BD的解析式；
（3）點P是直線BD上一點，平面內(nèi)是否存在點Q，使得以A，B，P，Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用分解因式法解一元二次方程，結(jié)合OA＞OB，且點A，B分別在x軸的負半軸和正半軸上，即可得出點A、B的坐標；
（2）過點D作DE⊥AC于點E，設(shè)OD=x，則DE=x，CD=4-x，根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)結(jié)合點A、C的坐標即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解方程求出x值即可得出點D的坐標，再利用待定系數(shù)法即可求出直線BD的解析式；
（3）假設(shè)存在，根線段AB為對角線以及AB為邊兩種情況考慮，根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合點A、B的坐標和直線BD的解析式即可得出點P、Q的坐標，此題得解．

解答 解：（1）∵x²-5x+6=（x-2）（x-3）=0，
∴x₁=2，x₂=3，
∵OA＞OB，且點A，B分別在x軸的負半軸和正半軸上，
∴A（-3，0），B（2，0）．
（2）過點D作DE⊥AC于點E，如圖1所示．
設(shè)OD=x，則DE=x，CD=4-x，
∵∠C=∠C，∠DEC=∠AOC=90°，
∴△DEC∽△AOC，
∴$\frac{DE}{AO}=\frac{CD}{AC}$．
∵A（-3，0），C（0，-4），
∴AO=3，AC=5，
∴$\frac{x}{3}=\frac{4-x}{5}$，
解得：x=$\frac{3}{2}$，
∴D（0，-$\frac{3}{2}$）．
設(shè)直線BD的解析式為y=kx-$\frac{3}{2}$，
將點B（2，0）代入y=kx-$\frac{3}{2}$中，
0=2k-$\frac{3}{2}$，解得：k=$\frac{3}{4}$，
∴直線BD的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$．
（3）假設(shè)存在，以A，B，P，Q為頂點的四邊形為菱形分兩種情況（如圖2所示）：
①當(dāng)線段AB為對角線時，
∵A（-3，0），B（2，0），
∴點P、Q的橫坐標為$\frac{-3+2}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
∴點P的坐標為（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{15}{8}$），
∴點Q的坐標為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{15}{8}$）；
②當(dāng)線段AB為邊時，
∵A（-3，0），B（2，0），
∴AB=5，
∵以A，B，P，Q為頂點的四邊形為菱形，
∴BP=AB=5或AP=AB=5．
當(dāng)BP=AB=5時，∵點P在直線y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$上，
∴點P的坐標為（6，3）或（-2，-3），
∴點Q的坐標為（1，3）或（-7，-3）；
當(dāng)AP=AB=5時，∵點P在直線y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$上，
∴點P的坐標為（-$\frac{22}{5}$，-$\frac{24}{5}$），
∴點Q的坐標為（$\frac{3}{5}$，-$\frac{24}{5}$）．
綜上可知：平面內(nèi)存在點Q，使得以A，B，P，Q為頂點的四邊形為菱形，此時點Q的坐標為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{15}{8}$）、（1，3）、（-7，-3）或（$\frac{3}{5}$，-$\frac{24}{5}$）．

點評 本題考查了解一元二次方程、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定及性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用分解因式法解一元二次方程；（2）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（3）分線段AB為對角線以及AB為邊兩組情況考慮．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，找出點的坐標，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．