Question

6．如圖，一次函數(shù)y=x+3與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象相交于點A（m，4），與x軸相交于點B．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點p在雙曲線上，且△PAB為直角三角形（∠BAP=90°），則點p的坐標(biāo)是（4，1）．

Answer 1

分析 （1）由點A在一次函數(shù)解析式中，可得出關(guān)于m的一元一次方程，解方程可求出m的值，從而得出點A的坐標(biāo)，由點A的坐標(biāo)結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求出k值，從而得出反比例函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，n），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及兩直線垂直斜率乘積為-1，可得出關(guān)于m、n的二元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵點A（m，4）在一次函數(shù)y=x+3圖象上，
∴4=m+3，解得：m=1，
∴點A的坐標(biāo)為（1，4）．
∵A（1，4）在反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$圖象上，
∴k=1×4=4．
∴反比例函數(shù)的解析式為$y=\frac{4}{x}$．
（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，n），
由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{mn=4}\\{\frac{n-4}{m-1}×1=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=4}\end{array}\right.$（舍去），或$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴點P的坐標(biāo)為（4，1）．
故答案為：（4，1）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及垂線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點A的坐標(biāo)；（2）找出關(guān)于m、n的二元一次方程組．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，找出點的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出反比例函數(shù)的系數(shù)k是關(guān)鍵．