Question

1．如圖，一次函數(shù)y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+3$\sqrt{3}$與反比例函數(shù)y=$\frac{a}{x}$的圖象交于點A（2，2$\sqrt{3}$），點C（4，b）．
（1）連接OA、OC，求△OAC的面積；
（2）過點C作直線m平行x軸，問是否在直線m上存在點P，使△OAP為以O(shè)A為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出點P的坐標；若存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先由一次函數(shù)y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+3$\sqrt{3}$與反比例函數(shù)y=$\frac{a}{x}$的圖象交于點A（2，2$\sqrt{3}$），點C（4，b），求得a與b的值，繼而求得點B，C，D的坐標，再由S_△OAC=S_△BOD-S_△OAB-S_△OCD求得答案；
（2）分別從若∠AOP=90°與若∠OAP=90°，利用相似三角形的性質(zhì)，即可求得點P的坐標．

解答 解：（1）如圖1，連接OA，OC，
∵點A（2，2$\sqrt{3}$）在反比例函數(shù)y=$\frac{a}{x}$的圖象上，
∴a=xy=2×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
∵點C（4，b）在反比例函數(shù)y=$\frac{a}{x}$的圖象上，
∴b=$\frac{4\sqrt{3}}{4}$=$\sqrt{3}$，
∴點C（4，$\sqrt{3}$），
∵一次函數(shù)y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+3$\sqrt{3}$與x，y軸的交點分別為D，B，
∴D（6，0），B（0，3$\sqrt{3}$），
∴S_△OAC=S_△BOD-S_△OAB-S_△OCD=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×2-$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$；

（2）存在．
如圖2，過點A作AM⊥x軸于點M，設(shè)直線m交x軸于點E，
∵C（4，$\sqrt{3}$），A（2，2$\sqrt{3}$），
∴OE=4，OM=2$\sqrt{3}$，AM=2，
①若∠AOP=90°，則∠AOE+∠EOP=90°，
∵∠AOM+∠AOE=90°，
∴∠AOM=∠EOP，
∵∠AMO=∠OEP=90°，
∴△AOM∽△POE，
∴$\frac{OM}{OE}=\frac{AM}{EP}$，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{2}{EP}$，
解得：EP=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴P₁（4，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）；
②若∠OAP=90°，過點A作AF⊥m于點F，
則∠AOM=∠FAP=90°-∠OAM，∠AMO=∠AFP=90°，
∴△AOM∽△PAF，
∴$\frac{AM}{PF}=\frac{OM}{AF}$，
∴$\frac{2}{PF}=\frac{2\sqrt{3}}{2}$，
解得：PF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴EP=EF-PF=2$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴P₂（4，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）；
綜上：P₁（4，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），P₂（4，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．

點評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式的知識以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．