Question

9．如圖，AB是⊙O的一條弦，E是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EC⊥OA于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作⊙O的切線交CE的延長線于點(diǎn)D．
（1）求證：DB=DE；
（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）欲證明DB=DE，只要證明∠DEB=∠DBE；
（2）作DF⊥AB于F，連接OE．只要證明∠AOE=∠DEF，可得sin∠DEF=sin∠AOE=$\frac{AE}{AO}$=$\frac{4}{5}$，由此求出AE即可解決問題．

解答 （1）證明：∵AO=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵BD是切線，
∴OB⊥BD，
∴∠OBD=90°，
∴∠OBE+∠EBD=90°，
∵EC⊥OA，
∴∠CAE+∠CEA=90°，
∵∠CEA=∠DEB，
∴∠EBD=∠BED，
∴DB=DE．

（2）作DF⊥AB于F，連接OE．
∵DB=DE，AE=EB=6，
∴EF=$\frac{1}{2}$BE=3，OE⊥AB，
在Rt△EDF中，DE=BD=5，EF=3，
∴DF=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵∠AOE+∠A=90°，∠DEF+∠A=90°，
∴∠AOE=∠DEF，
∴sin∠DEF=sin∠AOE=$\frac{AE}{AO}$=$\frac{4}{5}$，
∵AE=6，
∴AO=$\frac{15}{2}$．
∴⊙O的半徑為$\frac{15}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、銳角三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考�？碱}型．