Question

如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AC=6，BD=8，E為AD中點，點P在x軸上移動，請你寫出所有使△POE為等腰三角形的P點坐標

 

．

Answer 1

考點：菱形的性質,坐標與圖形性質,等腰三角形的判定

專題：分類討論

分析：根據菱形的對角線互相垂直平分求出OA、OD，再利用勾股定理列式求出AD，然后根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OE，然后分①OE=OP時，求出點P的坐標，②OE=PE時點P和點D重合，③OP=OE時，點P在OE的垂直平分線上，求出OP的長度，然后寫出點P的坐標即可．

解答：解：∵在菱形ABCD中對角線AC=6，BD=8，
∴OA=3，OD=4，
∴AD=

OA2+OD2

=

32+42

=5，
∵E為AD中點，
∴OE=

1

2

AD=

1

2

×5=2.5，
①OE=OP時，OP=2.5，
∴點P的坐標為（2.5，0）或（-2.5，0），
②OE=PE時點P和點D重合，P（4，0），
③OP=PE時，點P在OE的垂直平分線，
∴OP=

1

2

（

1

2

×5）÷

4

5

=

25

16

，
點P（

25

16

，0），
綜上所述，點P的坐標為（2.5，0）或（-2.5，0）或（4，0）或（

25

16

，0）．
故答案為：（2.5，0）或（-2.5，0）或（4，0）或（

25

16

，0）．

點評：本題考查了菱形的性質，主要利用了菱形的對角線互相垂直平分的性質，等腰三角形的性質，難點在于要分情況討論．