Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的斜邊AB在y軸上，邊AC與x軸交于點(diǎn)D，AE平分∠BAC交邊BC于點(diǎn)E，經(jīng)過點(diǎn)A、D、E的圓的圓心F恰好在y軸上，⊙F與y軸相交于另一點(diǎn)G．
（1）求證：BC是⊙F的切線；
（2）若點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別為A（0，-1），D（2，0），求⊙F的半徑；
（3）試探究線段AG、AD、CD三者之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）連接EF，根據(jù)角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)得到∠FEA=∠EAC，得到FE∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠FEB=∠C=90°，證明結(jié)論；
（2）連接FD，設(shè)⊙F的半徑為r，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可；
（3）作FR⊥AD于R，得到四邊形RCEF是矩形，得到EF=RC=RD+CD，根據(jù)垂徑定理解答即可．

解答 （1）證明：連接EF，
∵AE平分∠BAC，
∴∠FAE=∠CAE，
∵FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA，
∴∠FEA=∠EAC，
∴FE∥AC，
∴∠FEB=∠C=90°，即BC是⊙F的切線；

（2）解：連接FD，
設(shè)⊙F的半徑為r，
則r²=（r-1）²+2²，
解得，r=$\frac{5}{2}$，即⊙F的半徑為$\frac{5}{2}$；

（3）解：AG=AD+2CD．
證明：作FR⊥AD于R，
則∠FRC=90°，又∠FEC=∠C=90°，
∴四邊形RCEF是矩形，
∴EF=RC=RD+CD，
∵FR⊥AD，
∴AR=RD，
∴EF=RD+CD=$\frac{1}{2}$AD+CD，
∴AG=2FE=AD+2CD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是切線的判定、垂徑定理的應(yīng)用、矩形的判定和性質(zhì)，掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．