Question

12．如圖，拋物線與x軸交于A、B，與y軸交于C，且OA=1，OB=OC=3，拋物線的對稱軸與x軸交于D，點M從O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向B運動到B點止，過M作x軸的垂線交拋物線于點P，交BC于點Q
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）設M點運動了x秒時，△BCP的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當S最大時，點P的坐標；
（3）當M點運動多長時間時，△DBQ是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)OA=1，OB=OC=3得出A、B、C三點的坐標，再用待定系數(shù)法求解即可；
（2）${S}_{△BCP}=\frac{1}{2}（{x}_{B}-{x}_{C}）×（{y}_{P}-{y}_{Q}）$；由于B、C坐標已知，所以只需表示出P、Q兩點的縱坐標之差即可，而P、Q、M三點的橫坐標相同，因此，設出M點的橫坐標，將P、Q兩點的縱坐標用橫坐標表示，這樣就把△BCP的面積表示成了關(guān)于M點的橫坐標的二次函數(shù)，配方即可求出最大值，同時可求出P點坐標；
（3）分三種情況分別討論：DB=DQ；BD=BQ；QB=QD．

解答 解：（1）∵OA=1，OB=OC=3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），
將C點的坐標代入解析式可得：a=-1，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3；
（2）∵B（3，0），C（0，3），
∴BC的解析式為y=-x+3，
設M點的坐標為（m，0），則P（m，-m²+2m+3），Q（m，-m+3），
∴S=${S}_{△BCP}=\frac{1}{2}（{x}_{B}-{x}_{C}）×（{y}_{P}-{y}_{Q}）$=$\frac{3}{2}×（-{m}^{2}+2m+3+m-3）$=$-\frac{3}{2}{m}^{2}+\frac{9}{2}m$=$--\frac{3}{2}{（m-\frac{3}{2}）}^{2}+\frac{27}{8}$，
∴當m=$\frac{3}{2}$，${S}_{max}=\frac{27}{8}$，
此時，P點的坐標為（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；
（3）∵y=-x²+2x+3=4-（x-1）²+4，
∴D（1，4），
∴BD=2．
設運動時間為t，則M（t，0），則Q（t，-t+3），QM=-t+3；
①若DB=DQ，如圖1，

則MD=1-t，
MD²+QM²=QD²，
即：（1-t）²+（-t+3）²=4，
解得：t=1或t=3（舍去）；
②若BD=BQ，如圖2，

則$\frac{QM}{QB}=\frac{OC}{BC}$，
即：$\frac{-t+3}{2}=\frac{3}{3\sqrt{2}}$，
解得：t=3-$\sqrt{2}$；
③若QB=QD，如圖3，

則BM=$\frac{1}{2}BD=1$，
$\frac{QM}{MB}=\frac{OC}{OB}$，
即：$\frac{-t+3}{1}=\frac{3}{3}$，
解得：t=2；

綜上所述：當M運動時間為：1秒、（3-$\sqrt{2}$）秒、2秒時，△DBQ是等腰三角形．

點評 本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形面積的坐標表示法、配方法求二次函數(shù)最值、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程等多個知識點，有一定綜合性，難度適中．第（2）問與第（3）問是高頻考點，要引起高度重視，并熟練掌握這類問題的處理技巧．