Question

3．如圖，直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，點(diǎn)P是OA上的動(dòng)點(diǎn)，若使△PAC為等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2$\sqrt{3}$-4，0）或（-2，0）．

Answer 1

分析 求得A、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理求得AB，根據(jù)三角形面積公式求得OC，即可求得AC，然后分兩種情況即可求得．

解答 解：∵直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，
∴A（-4，0），B（0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∵$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$OA•OB，
∴$\frac{8\sqrt{3}}{3}$•OC=4×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴OC=2，
∴AC=$\sqrt{O{A}^{2}-O{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
①當(dāng)AC=AP時(shí)，P（2$\sqrt{3}$-4，0）；
②AP=PC時(shí)，P（-2，0）．
故答案為：（2$\sqrt{3}$-4，0）或（-2，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰三角形的判定以及勾股定理的應(yīng)用等，分類(lèi)討論是本題的關(guān)鍵．