Question

16．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的圖象經過平行四邊形OABC的兩個頂點B，C，若點A的坐標為（1，2），AB=$\sqrt{5}$BC，則反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{12}{x}$或y=-$\frac{119}{25x}$．

Answer 1

分析 由點A坐標可得OA長，根據(jù)平行四邊形性質可得OC的長，設點C坐標為（x，$\frac{k}{x}$），則點B坐標為（x+1，$\frac{k}{x}$+2），由勾股定理可得x²+$\frac{{k}^{2}}{{x}^{2}}$=25，由點B在雙曲線上可得$\frac{k}{x}$+2=$\frac{k}{x+1}$，解方程組可得k的值．

解答 解：∵點A的坐標為（1，2），
∴OA=$\sqrt{5}$，
又∵四邊形OABC是平行四邊形，且AB=$\sqrt{5}$BC，
∴OC=5，
∵點C在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，
∴設點C坐標為（x，$\frac{k}{x}$），
則x²+$\frac{{k}^{2}}{{x}^{2}}$=25  ①，
根據(jù)題意知點B的坐標為（x+1，$\frac{k}{x}$+2），
又∵點B在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，
∴$\frac{k}{x}$+2=$\frac{k}{x+1}$   ②，
由②可得，k=-2x²-2x，代入①整理得：5x²+8x-21=0，
解得：x=-3或x=$\frac{7}{5}$，
當x=-3時，k=-2x²-2x=-12，
當x=$\frac{7}{5}$時，k=-2x²-2x=-$\frac{119}{25}$，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=-$\frac{12}{x}$或y=-$\frac{119}{25x}$．
故答案為：y=-$\frac{12}{x}$或y=-$\frac{119}{25x}$．

點評 本題主要考查反比例函數(shù)解析式求法及平行四邊形的性質，設出C兩點坐標，根據(jù)平行四邊形性質表示出點B坐標是前提，運用勾股定理和反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點列出方程是解題的關鍵．