Question

10．如圖，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分別以O(shè)A、OC所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，D是邊CB上的一個動點(diǎn)且△OCD的面積為$\frac{5}{2}$，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)D且與邊BA交于點(diǎn)E，連接DE．
（1）反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=$\frac{5}{x}$；
（2）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得S_△POB=$\frac{1}{3}$S_矩形OABC；
（3）若線段MN=1在x軸移動（M在N的左邊），求四邊形DMNE周長最短時點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）要求反比例函數(shù)的表達(dá)式，只需求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可；
（2）如圖1，要求點(diǎn)P的坐標(biāo)，只需求出OP即可；
（3）由于DE、MN的長度是定值，要使四邊形DMNE周長最短，只需DM+EN最小，可將DM向右平移1個單位到D′N，只需D′N+NE最短，延長EA到點(diǎn)E′，使得AE′=AE，則有NE′=NE，只需D′N+NE′最短，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)D′、N、E′共線時，D′N+NE′最短，易證△E′AN∽△E′BD′，利用相似三角形的性質(zhì)可求出AN，從而可求出OM，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵S_△OCD=$\frac{1}{2}$OC•CD=$\frac{5}{2}$，OC=5，∴CD=1，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，5）．
∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=1×5=5，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{5}{x}$．
故答案為y=$\frac{5}{x}$；

（2）如圖1，

∵S_△POB=$\frac{1}{3}$S_矩形OABC，
∴$\frac{1}{2}$OP×5=$\frac{1}{3}$×3×5，
∴OP=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）或（-2，0）；

（3）延長EA到點(diǎn)E′，使得AE′=AE，在DB上取一點(diǎn)D′，使得DD′=1，
連接D′E′，交OA于N，如圖2，

∵四邊形OABC是矩形，
∴BC∥OA，∠OAB=90°，
∴DD′∥MN，NE′=NE．
∵DD′=MN=1，
∴四邊形DD′NM是平行四邊形，
∴D′N=DM．
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：
此時DM+EN=D′N+EN=D′N+NE′最短，
由于DE、MN的長度是定值，
因此此時四邊形DMNE周長最短．
∵x_E=3，∴y_E=$\frac{5}{3}$，
∴AE=$\frac{5}{3}$，
∴AE′=$\frac{5}{3}$，E′B=$\frac{5}{3}$+5=$\frac{20}{3}$，
∴$\frac{AE′}{E′B}$=$\frac{1}{4}$．
∵AN∥BC，
∴△E′AN∽△E′BD′，
∴$\frac{AN}{BD′}$=$\frac{E′A}{E′B}$，
∴$\frac{AN}{3-1-1}$=$\frac{1}{4}$，
∴AN=$\frac{1}{4}$，
∴OM=3-1-$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{4}$，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{7}{4}$，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短等知識，將不相連的兩條線段和最短轉(zhuǎn)化為相連的兩條線段和最短，是解決第（3）小題的關(guān)鍵．