Question

20．定義：由圓的切線和過切點的弦所組成的角叫做弦切角．如圖1，已知AB切⊙O于D點，CD是⊙O的弦，
則圖中∠BCD與∠ADC都是弦切角．
（1）如圖2，作出∠BCD所夾弧CD所對的圓周角∠M，求證：∠BCD=∠M；
（2）請用文字語言總結（1）中的結論圓的一個弦切角等于它所夾弧所對的圓周角；
（3）如圖3，PB切⊙O于B點，PAB交○O于A、B兩點，利用（2）中結論，求證：PC²=PA•PB．

Answer 1

分析 （1）過D點作直徑DE，連接CE，根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理得出∠BCD+∠CDE=∠CDE+∠E=90°，求出∠BCD=∠E即可；
（2）根據(jù)（1）的結論得出即可；
（3）證△PAC∽△PCB，得出比例式，即可求出答案．

解答
（1）證明：過D點作直徑DE，連接CE，
∵DE是直徑，BA切○O于D，
∴∠BCD+∠CDE=∠CDE+∠E=90°，
∴∠BCD=∠E，
又∵∠M=∠E，
∴∠BCD=∠M；

解：（2）結論：圓的一個弦切角等于它所夾弧所對的圓周角，
故答案為：圓的一個弦切角等于它所夾弧所對的圓周角；

（3）證明：連接AC、BC，由（2）知∠PCA=∠B，
又∵∠APC=∠CPB，
∴△PAC∽△PCB，
∴PA：PC=PC：PB，
即PC²=PA•PB．

點評 本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應用，能求出圓的一個弦切角等于它所夾弧所對的圓周角是解此題的關鍵．