Question

已知方程x²-kx-k+3=0有兩個不等實根：α、β．
（1）設(shè)T=α²+β²+4αβ，求T的取值范圍；
（2）若滿足0＜α＜1＜β＜2，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關(guān)系,根的判別式,拋物線與x軸的交點

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β=k，αβ=-k+3，則T可變形為（k-1）²+5，再根據(jù)判別式的意義確定k的范圍為k≤-6或k≥2，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求T的取值范圍；
（2）根據(jù)題意，可理解為y=x²-kx-k+3與x軸兩交點坐標(biāo)為（α，0）、（β，0），利用0＜α＜1＜β＜2得到x=0，y＞0；x=1時，y＜0；x=2時，y＞0，
于是可得到三個k的不等式，然后求出三個不等式的公共部分即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意得α+β=k，αβ=-k+3，
所以T=（α+β）²+2αβ=k²+2（-k+3）=（k-1）²+5，
∵△=（-k）²-4（-k+3）≥0，解得k≤-6或k≥2，
∴T≥6；
（2）y=x²-kx-k+3與x軸兩交點坐標(biāo)為（α，0）、（β，0），
∵0＜α＜1＜β＜2，
∴x=0，y＞0，即-k+3＞0，解得k＜3；
x=1時，y＜0，即1-k-k+3＜0，解得k＞2；
x=2時，y＞0，即4-2k-k+3＞0，解得k＜

7

3

，
∴k的取值范圍為2＜k＜

7

3

．

點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了根的判別式和拋物線與x軸的交點．