Question

如圖，已知拋物線(xiàn)y=ax²-2ax-b（a＞0）與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（-1，0），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）直接寫(xiě)出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，及拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）用只含a的代數(shù)式表示點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）連結(jié)AC與CD，當(dāng)AC⊥CD時(shí)．
①求拋物線(xiàn)的解析式；
②點(diǎn)E在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)F在拋物線(xiàn)上，且以B，A，F(xiàn)，E四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）已知拋物線(xiàn)解析式和點(diǎn)B的坐標(biāo)求出a值，利用對(duì)稱(chēng)軸x=-

b

2a

求出對(duì)稱(chēng)軸以及點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）設(shè)x=0，求出y的值，即點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，把拋物線(xiàn)的解析式配方即可得到頂點(diǎn)的坐標(biāo)即點(diǎn)D的坐標(biāo)，問(wèn)題得解；
（3）①本題要靠輔助線(xiàn)的幫助．連接AC，AD，過(guò)DM⊥y軸于點(diǎn)M．證明△AOC∽△CMD后可推出a，b的值．
②證明四邊形BAFE為平行四邊形，求出BA，EF得出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

解答：解：（1）對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)：x=-

b

2a

=-

-2a

2a

=1，
∵拋物線(xiàn)y=ax²-2ax-b（a＞0）與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（-1，0），對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0）；
（2）設(shè)x=0，則y=-b，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-b），
∵y=ax²-2ax-b=a（x²-2x）-b，
=a（x-1）²-a-b，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-a-b）；
（3）①如圖1，連接AC、AD，過(guò)D作DM⊥y軸于點(diǎn)M，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∴∠OCA+∠MCD=90°，
∵∠OCA+∠OAC=90°，∠CDM+∠MCD=90°，
∴∠OCA=∠CDM，∠OAC=∠MCD，
∴△AOC∽△CMD，
∵點(diǎn)A、D、C的坐標(biāo)分別是A（3，0），D（1，-a-b），C（0，-b），
∴AO=3，MD=1，
由

AO

CM

=

OC

MD

，
得

3

a

=

b

1

，
∴3-ab=0，
又∵0=a•（-1）²-2a•（-1）-b，
∴由

3-ab=0 3a-b=0

，
得

a=1 b=3

，
∴函數(shù)解析式為：y=x²-2x-3；
②如圖2所示，當(dāng)BAFE為平行四邊形時(shí)，
則BA∥EF，并且BA=EF，
∵BA=4，
∴EF=4，
由于對(duì)稱(chēng)為x=1，
∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為5，
將x=5代入y=x²-2x-3得y=12，
∴F（5，12），
根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)拋物線(xiàn)上也存在點(diǎn)F，
使得四邊形BAEF是平行四邊形，此時(shí)點(diǎn)F坐標(biāo)為（-3，12），
當(dāng)四邊形BEAF是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)F即為點(diǎn)D，
此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，-4），
綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（5，12），（-3，12）或（1，-4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用以及平行四邊形的判定定理，利用數(shù)形結(jié)合以及分類(lèi)討論得出F點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵，題目的綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的解題能力要求較高，是一道不錯(cuò)的中考題目．