Question

19．要利用28米長的籬笆和一堵最大可利用長為12米的墻圍成一個如圖1的一邊靠墻的矩形養(yǎng)雞場，在圍建的過程中遇到了以下問題，請你幫忙來解決．
（1）這個矩形養(yǎng)雞場要怎樣建面積能最大？求出這個矩形的長與寬；
（2）在（1）的前提條件下，要在墻上選一個點P，用不可伸縮的繩子分別連接BP，CP，點P取在何處所用繩子長最短？
（3）仍然是矩形養(yǎng)雞場面積最大的情況下，若把（2）中的不可伸縮的繩子改為可以伸縮且有彈性的繩子，點P可以在墻上自由滑動，求sin∠BPC的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)這個矩形的長為x米（0＜x≤12），則寬為$\frac{28-x}{2}$米，根據(jù)矩形的面積=長×寬，即可得出面積S關(guān)于長x之間的函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)在x的取值范圍內(nèi)的單調(diào)性即可得出結(jié)論；
（2）作點C關(guān)于AD的對稱點C′，連接BC′交AD于點P，連接PC，由三角形中兩邊之和大于第三邊可知，當B、P、C′共線時PB+PC最小，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出P點在AD中點時，用的繩子最短，求出此時C′B的長度即可；
（3）作一個圓，使該圓經(jīng)過B、C點且和AD相切，由外角知識及圓周角定理可知∠BPC≤∠BGC（P、G重合時取等號），根據(jù)三角形的面積公式即可算出取最大值時sin∠BPC的值．

解答 解：（1）設(shè)這個矩形的長為x米（0＜x≤12），則寬為$\frac{28-x}{2}$米，
根據(jù)矩形的面積公式可知S=x•$\frac{28-x}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-14）²+98，
∵0＜x≤12，在此區(qū)間內(nèi)面積S關(guān)于長x的函數(shù)單調(diào)遞增，
∴當x=12時，S取最大值，S_最大=96，
此時$\frac{28-x}{2}$=8．
故把整堵墻壁都用起來，矩形長為12米，寬為2米時矩形養(yǎng)雞場的面積最大．
（2）作點C關(guān)于AD的對稱點C′，連接BC′交AD于點P，連接PC，如圖一所示．

∵點C、C′關(guān)于AD對稱，
∴PC=PC′，
∴PB+PC=PB+PC．
由三角形內(nèi)兩邊之和大于第三邊可知：當B、P、C′共線時PB+PC最�。�
∵AD∥BC，
∴△C′PD∽△C′BC，
∴$\frac{PD}{BC}=\frac{C′D}{C′C}$=$\frac{1}{2}$，
∴PD=$\frac{1}{2}$BC，即P為AD的中點．
此時C′B=$\sqrt{B{C}^{2}+C′{C}^{2}}$=20（米）．
故當點P選在AD中點處時，需要的繩子最短，最短繩長為20米．
（3）作一個圓，使該圓經(jīng)過B、C點且和AD相切，如圖二所示．

任取線段AD上一點P，連接BP、CP，令CP與圓交于點G，連接BG．
∵∠BGC=∠BPC+∠PBG，
∴∠BPC≤∠BGC．
當P、G兩點重合時取等號，此時點P為AD的中點．
∵AD=12，AB=8，
∴AP=6，
由勾股定理得：BP=$\sqrt{A{B}^{2}+A{P}^{2}}$=10，
∵△PBC的面積S=$\frac{1}{2}$BP•CP•sin∠BPC=$\frac{1}{2}$×10×10sin∠BPC=$\frac{1}{2}$BC•AB=$\frac{1}{2}$×12×8，
∴sin∠BPC=$\frac{24}{25}$．
故sin∠BPC的最大值為$\frac{24}{25}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、最短路徑問題、相似三角形的判定及性質(zhì)、圓周角定理以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)面積=長×寬得出面積S關(guān)于長x的函數(shù)關(guān)系式；（2）找出當PB+PC最短時點P的位置；（3）找出∠BPC最大時點P的位置．本題屬于中檔題，（1）（2）難度不大；（3）尋找點P位置時有些難度，此問借助了圓周角定理以及外角的有關(guān)知識尋找到∠BPC最大時點P的位置，求∠BPC的正弦值時巧妙的利用了三角形的面積的兩種求解方程，減少了解直角三角形的步驟．