Question

17．如圖，在?ABCD中，對角線AC⊥AB，O為AC的中點，經(jīng)過點O的直線交AD于E，交BC于F，連結(jié)AF、CE，現(xiàn)在添加一個適當(dāng)?shù)臈l件，使四邊形AFCE是菱形，下列條件：①OE=OA；②EF⊥AC；③AF平分∠BAC；④E為AD中點．正確的有（　�。﹤�．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由在?ABCD中，O為AC的中點，易證得四邊形AFCE是平行四邊形；然后由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形與對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，求得答案．

解答 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，
∵O為AC的中點，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠CFO}\\{∠AOE=∠COF}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形；
①∵OE=OA，
∴AC=EF，
∴四邊形AFCE是矩形；故錯誤；
②∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE是菱形；故正確；
③∵AF平分∠BAC，AB⊥AC，
∴∠BAF=∠CAF=45°，
無法判定四邊形AFCE是菱形；故錯誤；
④∵AC⊥AB，AB∥CD，
∴AC⊥CD，
∵E為AD中點，
∴AE=CE=$\frac{1}{2}$AD，
∴四邊形AFCE是菱形；故正確．
故選B．

點評 此題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意首先證得四邊形AFCE是平行四邊形是關(guān)鍵．