Question

20．已知△ABC，∠BAC=90°，等腰直角△BDE，∠BDE=90°，BD=DE，點(diǎn)D在線段AC上．
（1）如圖1，當(dāng)∠ACB=30°，點(diǎn)E在BC上時(shí)，試判斷AD與CE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（2）如圖2，當(dāng)∠ACB=45°，點(diǎn)E在BC外時(shí)，連結(jié)EC、BD并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，設(shè)ED與BC交于點(diǎn)N，圖中是否存在與BN相等的線段？若存在．請(qǐng)加以證明．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得：∠DBE=∠DEB=45°，由三角形內(nèi)角和求∠ABC=60°，所以可以得∠ABD的度數(shù)；再證明△ABD≌△PDE，AD=PE，根據(jù)直角三角形30°角的性質(zhì)可以得結(jié)論；
（2）如圖2，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△ABD≌△GDE和△FDE≌△NDB，可以得出結(jié)論．

解答 解：（1）CE=2AD．
理由是：∵△BDE是等腰直角三角形，
∴∠DBE=∠DEB=45°，
又∵直角△ABC中，∠ACB=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBE=60°-45°=15°．
同理∠CEP=60°，
∴∠PED=180°-∠CEP-∠DEB=180°-60°-45°=75°，
∴在直角△DPE中，∠PDE=90°-∠PED=15°，
∴∠PDE=∠ABD．
∴在△ABD和△PDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPE=∠A=90°}\\{∠PDE=∠ABD}\\{DE=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△PDE（AAS），
∴AD=PE．
又∵直角△PCE中，∠C=30°，
∴CE=2PE
∴CE=2AD；
（2）BN=EF，理由是：
如圖2，過(guò)E作EG⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于G，
∵∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠EDF=90°，
∠GDE+∠ADB=90°，
∵∠A=90°，
∴∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠GDE=∠ABD，
在△ABD和△GDE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠GDE=∠ABD}\\{∠G=∠A=90°}\\{DE=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△GDE（AAS），
∴AD=GE，DG=AB，
∵AB=AC，
∴AC=DG，
∴AD=CG=GE，
∴△CGE是等腰直角三角形，
∴∠GCE=45°，
∴∠DCF=∠GCE=45°，
∴∠FCB=45°+45°=90°，
∴∠F+∠FBC=90°，
∵∠FBC+∠DNB=90°，
∴∠F=∠DNB，
在△FDE和△NDB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠DNB}\\{∠FDE=∠NDB}\\{DE=BD}\end{array}\right.$，
∴△FDE≌△NDB（AAS），
∴BN=EF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形全等的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形30°角的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是關(guān)鍵，第二問(wèn)有難度，作輔助線，構(gòu)建直角△DGE是此問(wèn)的突破口，找到兩全等三角形并進(jìn)行證明．