Question

18．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，動點E從點A出發(fā)自終點B運動，過點E作DE⊥AC交AC于點D，點A關(guān)于ED的對稱點為點P，點P落在射線AC上，過點E作EF⊥BC交BC于點F，連接PE，PF；設(shè)AE=5x．
（1）則DE=3x，AD=4x（用x的代數(shù)式表示）；
（2）當x為何值時，△EFP是等腰三角形？
（3）如圖2，當點E關(guān)于直線FP的對稱點E'恰好落在射線AC上時，則$\frac{{S}_{△EPF}}{{S}_{△EPA}}$的值為$\frac{5}{8}$．（直接寫出答案即可）

Answer 1

分析 （1）由勾股定理得出AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4，證出DE∥BC，由平行線得出△ADE∽△ACB，得出$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，即可得出答案；
（2）由對稱的性質(zhì)得出PD=AD=4x，證明四邊形CDEF是矩形，得出EF=DC=4-4x，CF=DE=3x，分情況討論：①當FP=FE=4-4x時，在Rt△PCF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②當PE=PF時，PC=PD=4x，得出方程4-8x=4x，解方程即可；
③當EP=EF=4-4x時，在Rt△PDE中，求出EP=$\sqrt{（3x）^{2}+（4x）^{2}}$=5x，得出方程4-4x=5x，解方程即可；
（3）由得出的性質(zhì)得出四邊形EFE'P是菱形，得出EP=EF，由（2）③得：x=$\frac{4}{9}$，再由三角形面積公式即可得出答案．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4，
∵DE⊥AC，∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，即$\frac{DE}{3}=\frac{AD}{4}$=$\frac{5x}{5}$=x，
∴DE=3x，AD=4x，
故答案為：3x，4x；

（2）∵點A關(guān)于ED的對稱點為點P，
∴PD=AD=4x，
∵EF⊥BC，DE⊥AC，∠ACB=90°，
∴四邊形CDEF是矩形，
∴EF=DC=4-4x，CF=DE=3x，
分情況討論：
①當FP=FE=4-4x時，
在Rt△PCF中，由勾股定理得：（3x）²+（4-8x）²=（4-4x）²，
解得：x=$\frac{32}{57}$，或x=0（舍去），
∴x=$\frac{32}{57}$；
②當PE=PF時，PC=PD=4x，
又∵PC=4-8x，
∴4-8x=4x，
解得：x=$\frac{1}{3}$；
③當EP=EF=4-4x時，
在Rt△PDE中，EP=$\sqrt{（3x）^{2}+（4x）^{2}}$=5x，
∴4-4x=5x，
解得：x=$\frac{4}{9}$；
綜上所述：當x為$\frac{32}{57}$或$\frac{1}{3}$或$\frac{4}{9}$時，△EFP是等腰三角形；

（3）當點E關(guān)于直線FP的對稱點E'恰好落在射線AC上時，四邊形EFE'P是菱形，如圖所示：
∴EP=EF，由（2）③得：x=$\frac{4}{9}$，
∴$\frac{{S}_{△EPF}}{{S}_{△EPA}}$=$\frac{\frac{1}{2}（4-4x）•3x}{\frac{1}{2}•8x•3x}$=$\frac{4-4x}{8x}$=$\frac{1-x}{2x}$=$\frac{1-\frac{4}{9}}{2×\frac{4}{9}}$=$\frac{5}{8}$；
故答案為：$\frac{5}{8}$．

點評 本題是幾何變換綜合題目，考查了軸對稱的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度．