Question

如圖，已知AB為⊙O直徑，DC與⊙O相切于點(diǎn)C，AD⊥DC于D，AD交⊙O于E．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）若CD=12，AD=16，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OC，由直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，AD⊥CD，易證得OC∥AD，繼而可得AC平分∠DAB；
（2）連接BC，可證得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例以及余弦定理，即可求得答案．

解答：（1）證明：連接OC．
∵直線DC與⊙O相切于點(diǎn)C，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥DC，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠DAC，
即AC平分∠DAB；

（2）解：連接BC．
在△ACD中，∵∠ADC=90°，CD=12，AD=16，
∴AC=

AD2+CD2

=20．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
在△ADC與△ACB中，

∠ADC=∠ACB ∠DAC=∠CAB

，
∴△ADC∽△ACB，
∴

CD

BC

=

AD

AC

，
即

12

BC

=

16

20

，
解得：BC=15．
在△BCD中，∵BC=15，CD=12，∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，
∴BD²=BC²+CD²-2BC•CD•cos∠BCD
=15²+12²-2×15×12•cos（90°+∠ACD）
=225+144-360•[-sin∠ACD]
=225+144+360×

16

20

=225+144+288
=657，
∴BD=

657

=3

73

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及余弦定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．