Question

20．已知二次函數(shù)y=-（x-a）²+a+2，當a取不同的值時，頂點在一條直線上，這條直線的解析式是y=x+2．拋物線與y軸交點為C，當-1≤a≤2時，C點經過的路徑長為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 由拋物線解析式可求得其頂點坐標，再根據(jù)坐標特征可求得頂點所在直線的解析式；在拋物線解析式中令x=0，可求得C點坐標，再由a的取值范圍，可求得OC的取值范圍，可求得C點經過的路徑的長．

解答 解：
∵y=-（x-a）²+a+2，
∴頂點坐標為（a，a+2），
∴當a取不同的值時，頂點在一條直線上，這條直線的解析式是y=x+2；
在y=-（x-a）²+a+2中，令x=0可得y=-a²+a+2，
∴OC=-a²+a+2=-（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴OC是關于a的拋物線，開口向下，對稱軸為a=$\frac{1}{2}$，
當-1≤a≤$\frac{1}{2}$時，OC隨a的增大而增大，當a=-1時，OC=0，當a=$\frac{1}{2}$時，OC=$\frac{9}{4}$，此時點C經過的路徑長為$\frac{9}{4}$；
當$\frac{1}{2}$≤a≤2時，OC隨a的增大而減小，當a=$\frac{1}{2}$時，OC=$\frac{9}{4}$，當a=2時，OC=0，此時點C經過的路徑長為$\frac{9}{4}$；
∴當-1≤a≤2時，C點經過的路徑長為$\frac{9}{4}$+$\frac{9}{4}$=$\frac{9}{2}$，
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的性質，在求C點經過的路徑長時得到用a表示的二次函數(shù)是解題的關鍵．