Question

1．如圖1，點P是平面直角坐標(biāo)系中第一象限內(nèi)任意一點，PA⊥y軸，PB⊥x軸，垂足分別為A、B，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交線段PA于點C（不與P重合），交線段PB于點D（不與P重合），連接CD和AB．
①CD不一定平行于AB；
②$\frac{PC}{CA}$=$\frac{PD}{DB}$；    
③若P（a，b）且k=$\frac{ab}{2}$，則把△PCD沿CD折疊后P點一定落在AB上；
④如圖2，過點C作CE⊥x軸，過點D作DF⊥y軸，垂足分別為E、F，若兩個陰影部分面積相等，則D為PB中點．
其中正確的是②③④（把所有正確結(jié)論的序號都選上）．

Answer 1

分析 ①②設(shè)A（0，b），B（a，0），則C（$\frac{k}$，b），D（a，$\frac{k}{a}$），表示PC、PD、AC、BD的長，計算得：$\frac{PC}{AC}$=$\frac{PD}{BD}$，則CD∥AB；
③將k=$\frac{ab}{2}$代入C（$\frac{k}$，b），D（a，$\frac{k}{a}$），可得：C（$\frac{a}{2}$，b），D（a，$\frac{2}$），可知C為PA的中點，D為PB的中點，得平行和相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)高的比得結(jié)論；
④根據(jù)兩陰影部分的面積列等式可得：k=$\frac{ab}{2}$，代回D點的坐標(biāo)可得結(jié)論．

解答 解：①設(shè)A（0，b），B（a，0），則C（$\frac{k}$，b），D（a，$\frac{k}{a}$），
∴PC=a-$\frac{k}$=$\frac{ab-k}$，
PD=b-$\frac{k}{a}$=$\frac{ab-k}{a}$，
∴$\frac{PC}{AC}$=$\frac{\frac{ab-k}}{\frac{k}}$=$\frac{ab-k}{k}$，
$\frac{PD}{BD}$=$\frac{\frac{ab-k}{a}}{\frac{k}{a}}$=$\frac{ab-k}{k}$，
∴$\frac{PC}{AC}$=$\frac{PD}{BD}$，
∴CD∥AB，
所以①不正確，②正確；
③如圖1，∵P（a，b）且k=$\frac{ab}{2}$，
∴C（$\frac{a}{2}$，b），D（a，$\frac{2}$），
∴C為PA的中點，D為PB的中點，
∴CD是△PAB的中位線，
∴CD∥AB，
∴△PCD∽△PAB，
過P作PP′⊥CD，交CD于E，交AB于P′，
由△PCD∽△PAB得：$\frac{PC}{PA}=\frac{PE}{PP′}$=$\frac{1}{2}$，
∴PE=EP′，
即把△PCD沿CD折疊后P點一定落在AB上；
所以③正確；
④由①：設(shè)A（0，b），B（a，0），則C（$\frac{k}$，b），D（a，$\frac{k}{a}$），
∴OE=$\frac{k}$，BD=$\frac{k}{a}$，PC=a-$\frac{k}$，PD=b-$\frac{k}{a}$，
∴S_矩形PCGD=S_矩形GFOE，
∴$\frac{k}$×$\frac{k}{a}$=（a-$\frac{k}$）（b-$\frac{k}{a}$），
$\frac{{k}^{2}}{ab}$=ab-k-k+$\frac{{k}^{2}}{ab}$，
ab=2k，
∴k=$\frac{ab}{2}$，
∴D（a，$\frac{2}$），
∴BD=$\frac{2}$，
∴D為PB中點；
所以④正確；
所以本題正確的是：②③④；
故答案為：②③④．

點評 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、三角形相似的性質(zhì)和判定、平行線分線段成比例定理及翻折變換的性質(zhì)，有難度，本題設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)，并利用此坐標(biāo)表示C、D兩點的坐標(biāo)是關(guān)鍵．