Question

13．如圖，正方形ABCD，點E在正方形外側(cè)且DE=CD，DH⊥AE，垂足為H交CE于M．
（1）求證：∠CMD=45°；
（2）求證：AM+CM=$\sqrt{2}$BM；
（3）若正方形的邊長為2，P點為AD的中點，求DM的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的想知道的∠DEC=∠DCE，得多AD=CD=ED，即AD=ED，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DEC+∠EDH=∠DCE+∠ADH=$\frac{180°-∠ADC}{2}$=$\frac{180°-90°}{2}$=45°，于是得到結(jié)論；
（2）連接BM，將△ABM繞B順時針旋轉(zhuǎn)90°，使M落在N處，A落在C處，則AM=CN，延長DE交BN于F，可得∠FCN=∠DCE，推出M，C，N三點共線，即△MBN是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理得到MN=$\sqrt{2}$BM，于是得到結(jié)論；
（3）在（2）中圖，作DG⊥CE交CE于G，根據(jù)已知條件得到DC=2，PD=1，由勾股定理得到PC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，推出△DPN是等腰直角三角形，于是得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵DE=CD，
∴∠DEC=∠DCE，
∴AD=CD=ED，即AD=ED，
∵DH⊥AE，
∴∠EDH=∠ADH，
∵∠DEC+∠EDH=∠DCE+∠ADH=$\frac{180°-∠ADC}{2}$=$\frac{180°-90°}{2}$=45°，
∴∠CMD=45°；
（2）證明：連接BM，將△ABM繞B順時針旋轉(zhuǎn)90°，使M落在N處，A落在C處，
則AM=CN，延長DE交BN于F，可得
∠BAM=∠BAD+∠DAM=∠BCF+∠FCN，
∴∠FCN=∠DAM=∠DEC=∠DCE，
即∠FCN=∠DCE，
∴M，C，N三點共線，
即△MBN是等腰直角三角形，
∴MN=$\sqrt{2}$BM，
∵CN=AM=EM，
∴MN=CM+CN=CM+EM，
∴AM+CM=$\sqrt{2}$BM；
（3）解：在（2）中圖，作DG⊥CE交CE于G，
∵正方形的邊長為2，P是AD的中點，
∴DC=2，PD=1，PC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴DG=$\frac{PD•DC}{PC}$=$\frac{2×1}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵∠CMD=45°，∠DPN=90°，
∴△DPN是等腰直角三角形，
∴DM=$\sqrt{2}$DG=$\sqrt{2}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．