Question

6．如圖一組有規(guī)律的正多邊形，各正多邊形中的陰影部分面積均為a，按此規(guī)律，則第n個正多邊形的面積為$\frac{n+1}{2}$a．

Answer 1

分析 設出正多邊形的邊長，根據(jù)正多邊形與圓的關系，分別求出正四邊形、正六邊形和正八邊形的面積，找出規(guī)律，得到答案．

解答 解：第一個：正多邊形的面積等于a；
第二個：如圖作AE⊥BD于E，
設正六邊形的邊長為2，
∵正六邊形的一個內角為120°，
∴∠ABE=30°，
則AE=1，BE=$\sqrt{3}$，
△ABD的面積為：$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1=$\sqrt{3}$，
a=2×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
∴正六邊形的面積為：$\frac{3}{2}$a，

第三個：如圖，
∵正八邊形的一個內角為135°，
∴∠ABD=45°，
設正八邊形的邊長為2，
則BD=AD=$\sqrt{2}$，△ABD的面積為1，
四邊形ABEF的面積為1+2$\sqrt{2}$+1=2$\sqrt{2}$+2，
a=2×（2$\sqrt{2}$+2）=4$\sqrt{2}$+4，
∴正八邊形的面積為2a，

通過計算可以看出：第n個正多邊形的面積為$\frac{n+1}{2}$a．

點評 本題考查的是正多邊形與圓的關系，求出正多邊形的一個內角，設出邊長，根據(jù)特殊角的性質和勾股定理表示出有關的邊長，求出正多邊形的面積，根據(jù)計算結果找出規(guī)律是解題的關鍵．