Question

已知二次函數(shù)y=x²-2mx+m²-1．
（1）該拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，

3

4

），頂點(diǎn)為D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）在（1）的條件下，x軸是否存在一點(diǎn)P，使得PC+PD最短？若P點(diǎn)存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若P點(diǎn)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．?

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：（1）把C點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可計(jì)算出m=±

7

2

，然后把解析式配成頂點(diǎn)式即可得到D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）分類(lèi)討論：先利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，然后求出直線CD與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）把C（0，

3

4

）代入y=x²-2mx+m²-1得m²-1=

3

4

，解得m=±

7

2

，
所以y=（x-m）²-1=（x±

7

2

）²-1，
所以D點(diǎn)坐標(biāo)為（

7

2

，-1）或（-

7

2

，-1）
（2）存在．
當(dāng)D點(diǎn)坐標(biāo)為（

7

2

，-1），設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，把C（0，

3

4

）、D（

7

2

，-1）代入得

b= 3 4 7 2 k+b=-1

，解得

k=- 7 2 b= 3 4

，
則直線CD的解析式為y=-

7

2

x+

3

4

，當(dāng)y=0時(shí)，-

7

2

x+

3

4

=0，解得x=

3 7

14

，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（

3 7

14

，0）；
當(dāng)D點(diǎn)坐標(biāo)為（-

7

2

，-1），設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，把C（0，

3

4

）、D（-

7

2

，-1）代入得

b= 3 4 - 7 2 k+b=-1

，解得

k= 7 2 b= 3 4

，
則直線CD的解析式為y=

7

2

x+

3

4

，當(dāng)y=0時(shí)，

7

2

x+

3

4

=0，解得x=-

3 7

14

，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-

3 7

14

，0），
所以滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（

3 7

14

，0）或（-

3 7

14

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對(duì)稱(chēng)軸直線x=-

b

2a

，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開(kāi)口向上，x＜-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而減�。粁＞-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而增大；x=-

b

2a

時(shí)，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．
②當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開(kāi)口向下，x＜-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而減��；x=-

b

2a

時(shí)，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．