Question

如圖1，將射線OX按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)β角，得到射線OY，如果點(diǎn)P為射線OY上的一點(diǎn)，且OP=a，那么我們規(guī)定用（a，β）表示點(diǎn)P在平面內(nèi)的位置，并記為P（a，β）．例如，圖2中，如果OM=8，∠XOM=110°，那么點(diǎn)M在平面內(nèi)的位置，記為M（8，110）．根據(jù)圖形，解答下列問(wèn)題：
（1）如圖3中，如果點(diǎn)N在平面內(nèi)的位置極為N（6，30），那么ON=

 

，∠XON=

 

；
（2）如果點(diǎn)A、B在平面內(nèi)的位置分別記為A（4，30），B（4，90），試求A、B兩點(diǎn)間的距離．（畫出圖形并寫出解題過(guò)程）
（3）在（2）中，若以AB為一邊在平面內(nèi)作等邊三角形ABC，試用上述記法表示出另一個(gè)頂點(diǎn)C．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,點(diǎn)的坐標(biāo),等邊三角形的性質(zhì)

專題：新定義

分析：（1）由題意得第一個(gè)坐標(biāo)表示此點(diǎn)距離原點(diǎn)的距離，第二個(gè)坐標(biāo)表示此點(diǎn)與原點(diǎn)的連線與x軸所夾的角的度數(shù)；
（2）連接AB，根據(jù)相應(yīng)的度數(shù)判斷出△AOB的形狀即可；
（3）過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，延長(zhǎng)OD使CD=OD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出OD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出OC的長(zhǎng)，求出∠COX的度數(shù)即可．

解答： 解：（1）根據(jù)點(diǎn)N在平面內(nèi)的位置極為N（6，30）可知，ON=6，∠XON=30°．
故答案為：6，30°；

（2）∵∠BOX=90°，∠AOX=30°，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB=4，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AB=OA=4．

（3）過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，延長(zhǎng)OD使CD=OD，
∵由（2）知，△AOB是等邊三角形，∠AOX=30°，
∴∠COX=60°，OD=OA•cos30°=4×

3

2

=2

3

，
∴OC=4

3

，
∴C（0，0）或（4

3

，60）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答是解答此題的關(guān)鍵．