Question

在△ABC中，BD，CE是它的兩條角平分線，且BD，CE相交于點M，MN⊥BC于點N．將∠MBN記為∠1，∠MCN記為∠2，∠CMN記為∠3．

（1）如圖1，若∠A=110°，∠BEC=130°，則∠2=°，∠3-∠1=°；
（2）如圖2，猜想∠3-∠1與∠A的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）若∠BEC=α，∠BDC=β，用含α和β的代數(shù)式表示∠3-∠1的度數(shù)．（直接寫出結(jié)果即可）

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠ACE=∠BEC-∠A，再根據(jù)角平分線的定義可得∠2=∠ACE；根據(jù)角平分線的定義求出∠ACB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABC，然后求出∠1，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠3，然后相減即可得解；
（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACB，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余表示出∠3，然后表示出∠3-∠1=90°-

1

2

∠ACB-

1

2

∠ABC，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠ACB+∠ABC=180°-∠A，然后代入整理即可得解；
（3）在△BCE和△BCD中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式整理得到∠1+∠2，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義用∠A表示出∠1+∠2，然后根據(jù)∠3-∠1=

1

2

∠A整理即可得解．

解答：（1）解：在△ACE中，∠ACE=∠BEC-∠A
=130°-110°
=20°，
∵CE平分∠ACE，
∴∠2=∠ACE=20°，
∠ACB=2∠2=2×20°=40°，
在△ABC中，∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-110°-40°=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=

1

2

∠ABC=

1

2

×30°=15°，
∵M(jìn)N⊥BC，
∴∠3=90°-∠2=90°-20°=70°，
∴∠3-∠1=70°-15°=55°，
故答案為：20，55；

（2）∠3-∠1與∠A的數(shù)量關(guān)系是：∠3-∠1=

1

2

∠A．
證明：∵在△ABC中，BD，CE是它的兩條角平分線，
∴∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACB，
∵M(jìn)N⊥BC于點N，
∴∠MNC=90°，
∴在△MNC中，∠3=90°-∠2，
∴∠3-∠1=90°-∠2-∠1，
=90°-

1

2

∠ACB-

1

2

∠ABC，
=90°-

1

2

（∠ACB+∠ABC），
∵在△ABC中，∠ACB+∠ABC=180°-∠A，
∴∠3-∠1=90°-

1

2

（180°-∠A），
=

1

2

∠A；

（3）解：∵BD，CE是△ABC的兩條角平分線，
∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，
在△BCE和△BCD中，∠1+2∠2+β=180°，
∠2+2∠1+α=180°，
∴∠1+∠2=120°-

α+β

3

，
∵∠1+∠2=

1

2

（∠ACB+∠ABC）=

1

2

（180°-∠A），
∴120°-

α+β

3

=

1

2

（180°-∠A），
整理得，

1

2

∠A=

α+β

3

-30°，
∴∠3-∠1=

α+β

3

-30°．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．