Question

17．如圖，點(diǎn)M（-3，4），點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿射線OM方向1個單位/秒勻速運(yùn)動，運(yùn)動的過程中以P為對稱中心，O為一個頂點(diǎn)作正方形OABC，當(dāng)正方形面積為128時，點(diǎn)A坐標(biāo)是（　�。�

• A． （$\frac{3}{2}$，$\frac{65}{6}$）
• B． （$\sqrt{7}$，11）
• C． （2，2$\sqrt{31}$）
• D． （$\frac{8}{5}$，$\frac{56}{5}$）

Answer 1

分析 作AD⊥x軸于D，CE⊥x軸于E，根據(jù)M的坐標(biāo)求得直線OM的斜率-$\frac{4}{3}$，進(jìn)一步得出直線AC的斜率為$\frac{3}{4}$，通過證得△COE≌△OAD，得出CE=OD，OE=AD，所以設(shè)A（a，b），則C（-b，a），然后根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AC的斜率為$\frac{b-a}{a+b}$，從而得出$\frac{b-a}{a+b}$=$\frac{3}{4}$，整理得b=7a，然后在RT△AOD中，根據(jù)勾股定理得出（7a）²+a²=128，解得a=$\frac{8}{5}$，b=$\frac{56}{5}$．

解答 解：作AD⊥x軸于D，CE⊥x軸于E，
設(shè)直線OM的解析式為y=kx，
∵點(diǎn)M（-3，4），
∴4=-3k，
∴k=-$\frac{4}{3}$，
∵四邊形ABCO是正方形，
∴直線AC⊥直線OM，
∴直線AC的斜率為$\frac{3}{4}$，
∵四邊形ABCO是正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠AOD+∠COE=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°
∴∠COE=∠OAD，
在△COE和△OAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COE=∠OAD}\\{∠CEO=∠ODA=90°}\\{OC=OA}\end{array}\right.$
∴△COE≌△OAD（AAS），
∴CE=OD，OE=AD，
設(shè)A（a，b），則C（-b，a），
設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{am+n=b①}\\{-bm+n=a②}\end{array}\right.$
解得m=$\frac{b-a}{a+b}$，
∴$\frac{b-a}{a+b}$=$\frac{3}{4}$，
整理得，b=7a，
∵正方形面積為128，
∴OA²=128，
在RT△AOD中，AD²+OD²=OA²，即（7a）²+a²=128，
解得，a=$\frac{8}{5}$，
∴b=7a=7×$\frac{8}{5}$=$\frac{56}{5}$，
∴A（$\frac{8}{5}$，$\frac{56}{5}$），
故選D．

點(diǎn)評 本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，根據(jù)直線AC的斜率列出方程是本題的關(guān)鍵．