Question

15．△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=4，AC=6．
（1）如圖1，AD平分∠BAC交⊙O于D，DE⊥AC于E，求CE長；
（2）如圖2，AD平分△ABC外角∠MAC交⊙O于D，DE⊥AC于E，直接寫出CE的長為5．

Answer 1

分析 （1）如圖1，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，利用HL證明Rt△DBF≌Rt△DCE，得CE=BF，設(shè)CE=x，再證明Rt△AFD≌Rt△AED，得AE=AF，并根據(jù)AE=AF列一元一次方程，求出x的值，即是CE的值；
（2）如圖2，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，同理證明Rt△DBF≌Rt△DCE，CE=BF，又得AE=AF，設(shè)AE=x，列方程為4+x=6-x，x=1，則CE=5．

解答 解：（1）如圖1，過D作DF⊥AB，交AB的延長線于F，連接BD、CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∴DF=DE，∠BAD=∠DAC，
∵∠BAD=∠BCD，∠DAC=∠DBC，
∴∠DBC=∠BCD，
∴BD=CD，
在Rt△DBF和Rt△DCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{DF=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△DBF≌Rt△DCE（HL），
∴CE=BF，
設(shè)CE=x，則AE=6-x，BF=x，AF=4+x，
在Rt△AFD和Rt△AED中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DF=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFD≌Rt△AED（HL），
∴AF=AE，
則4+x=6-x，
x=1，
∴CE=1；
（2）如圖2，過D作DF⊥BM于F，連接DB、DC，
∵AD平分∠MAC，DE⊥AC，
∴DF=DE，∠MAD=∠DAC，
∵∠MAD=∠BCD，∠DAC=∠DBC，
∴∠DBC=∠BCD，
∴BD=CD，
在Rt△DBF和Rt△DCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{DF=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△DBF≌Rt△DCE（HL），
∴CE=BF，
同理得：AE=AF，
設(shè)AE=x，則AF=x，
則4+x=6-x，
x=1，
∴CE=AC-AE=6-1=5．
故答案為：5．

點評 本題考查了三角形的外接圓、角平分線的性質(zhì)和圓周角定理，恰當(dāng)?shù)刈鬏o助線構(gòu)建三角形全等是本題的關(guān)鍵；熟練掌握角平分線的性質(zhì)到角兩邊的距離相等，利用同弧所對的圓周角相等及圓內(nèi)接四邊形的一個外角等于其內(nèi)對角，證明角相等，從而得出邊相等，為全等創(chuàng)造條件，并與方程相結(jié)合得出結(jié)論．