Question

6．已知：如圖所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分別過點(diǎn)B、C作經(jīng)過點(diǎn)A的直線L的垂線段BD、CE，垂足分別D、E．
（1）求證：DE=BD+CE．
（2）如果過點(diǎn)A的直線經(jīng)過∠BAC的內(nèi)部，那么上述結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)給出你的結(jié)論，并畫出圖形予以證明．

Answer 1

分析 （1）由垂線的定義和角的互余關(guān)系得出∠BDA=∠CEA=90°，∠ABD=∠CAE，由AAS證明△ABD≌△CAE，得出對(duì)應(yīng)邊相等BD=AE，AD=CE，由AD+AE=DE，即可得出結(jié)論；
（2）由垂線的定義和角的互余關(guān)系得出∠ADB=∠CEA=90°，∠ABD=∠CAE，由AAS證明△ABD≌△CAE，得出對(duì)應(yīng)邊相等BD=AE，AD=CE，由AE、DE、AD之間的和差關(guān)系，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB=∠CEA=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CEA=90°\\;}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵AD+AE=DE，
∴BD+CE=DE；

（2）上述結(jié)論不成立．
如圖所示，BD=DE+CE．
證明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB=∠CEA=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CEA}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵AD+DE=AE，
∴BD=DE+CE．

如圖所示，CE=DE+BD，
證明：證明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB=∠CEA=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CEA}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE+DE=AD，
∴CE=DE+BD．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行推導(dǎo)．解題時(shí)注意：在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．