Question

7．如圖，設(shè)D，E及F分別是△ABC的邊AB，BC及CA的中點(diǎn)，∠BDC及∠ADC的角平分線分別交BC及AC于點(diǎn)M，N，直線MN交CD于點(diǎn)O．設(shè)EO及FO分別交AC及BC于點(diǎn)P及Q，求證：CD=PQ．

Answer 1

分析 先由DN與DM是角平分線可推出$\frac{CN}{AN}=\frac{CM}{BM}$，即MN∥AB，而EF∥AB，從而MN∥EF，得出線段比例關(guān)系，推與PQ∥EF∥MN∥AB，即四線平行；過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB，交DM的延長(zhǎng)于點(diǎn)G，可證CG=CD，即：將線段CD轉(zhuǎn)移成CG，從而只需證CG=PQ即可，而此時(shí)五線平行，顯然利用推導(dǎo)線段比例關(guān)系得出結(jié)論．

解答 證明：如圖：

∵DN平分∠ADC，
∴$\frac{CN}{AN}=\frac{CD}{AD}$，
同理$\frac{CM}{BM}=\frac{CD}{BD}$，
∵BD=AD，
∴$\frac{CN}{AN}=\frac{CM}{BM}$，
∴MN∥AB，
∴$\frac{ON}{AD}=\frac{CO}{CD}=\frac{OM}{BD}$，
∴ON=OM，
∵E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AB，EF=AD=BD，
∴EF∥MN，
∴$\frac{ON}{EF}=\frac{OP}{PE}$，$\frac{OM}{EF}=\frac{OQ}{FQ}$，
∴$\frac{PO}{PE}=\frac{QO}{QF}$，
∴PQ∥EF∥MN∥AB，
過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB交DM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如圖，
∴∠CGD=∠GDB，
∵∠CDG=∠GDB，
∴∠CDG=∠CGD，
∴CD=CG，
∵$\frac{OM}{CG}=\frac{OD}{CD}$，$\frac{OM}{BD}=\frac{OC}{CD}$，
∴$\frac{OM}{CG}+\frac{OM}{BD}=\frac{OD}{CD}+\frac{OC}{CD}=\frac{CD}{CD}=1$，
又∵$\frac{ON}{EF}=\frac{PN}{PF}$，$\frac{ON}{PQ}=\frac{FN}{FP}$
∴$\frac{ON}{EF}+\frac{ON}{PQ}=\frac{PN}{PF}+\frac{NF}{PF}=\frac{PF}{PF}=1$，
∵OM=ON，EF=BD，
∴CG=PQ，
∵CG=CD，
∴CD=PQ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的中位線定理、平行線分線段成比例定理及其逆定理、相似三角形判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、角平分線比例定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，難度很大，是一道偏競(jìng)賽的幾何證明題．要證兩條線段相等，若直接證不好證，則想辦法轉(zhuǎn)移其中一條或兩條同時(shí)轉(zhuǎn)移，本題利角平分線和平行線構(gòu)造等腰三角形，從而將CD轉(zhuǎn)移成CG使問(wèn)題得以突破．另外，熟練地使用平行線分線段成比例定理進(jìn)行線段比例等式的恒等變形也是本題的關(guān)鍵和難點(diǎn)所在．此題可以作為一個(gè)經(jīng)典結(jié)論，希望同學(xué)們熟練掌握其推導(dǎo)過(guò)程，并能應(yīng)用到其它幾何證明中去．