Question

17．如圖，CD和BE是△ABC的兩條高，∠BCD=45°，BF=FC，BE與DF、DC分別交于點G、H，∠ACD=∠CBE．
（1）判斷△ABC的形狀并說明理由；
（2）小明說：BH的長是AE的2倍．你認為正確嗎？請說明理由．
（3）若BG=n²+1，GE=n²-1，求BH的長．

Answer 1

分析 （1）由CD和BE是△ABC的兩條高，于是得到∠A=∠ACD+∠A=90°，于是得到∠ABE=∠ACD，由于∠ACD=∠CBE，折疊∠ABE=∠CBE，通過△BAE≌△BCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BA=BC，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BD=DC證得△BDH≌△CDA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BH=AC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AC=2AE，BH=2AE，即可得到結(jié)論；
（3）連接GC，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵CD和BE是△ABC的兩條高，
∴∠A=∠ACD+∠A=90°，
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠ACD=∠CBE，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠BEA=∠BEC=90°，
在△BAE與△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBE}\\{∠BEA=∠BEC=90°}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△BCE，
∴BA=BC，
∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵∠BDC=90°，∠BCD=45°，
∴BD=DC，
∵∠BDH=∠CDA=90°，
在△BDH與△CDA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BDH=∠CDA}\\{∠DBH=∠DCA}\\{BD=DC}\end{array}\right.$，
∴△BDH≌△CDA，
∴BH=AC，
∵BE⊥AC，
∴AC=2AE，
BH=2AE，
∴小明說的正確；

（3）連接GC，則GC=BG=n²+1，
在Rt△GEC中，
CE²=GC²-GE²=（n²+1）²-（n²-1）²=4n²，
∴CE=2n，
∵CD⊥AB，∠BCD=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴∠GBC=∠GCB=22.5°，
∴∠EGC=45°，
∴△CGE是等腰直角三角形，
∴CE=GE，
∴n²-1=2n，
∴n=$\sqrt{2}$+1，（負值舍去），
∴AC=2CE=4n，
∴BH=4n=4$\sqrt{2}$+4．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．