Question

10．在平面直角坐標系中，坐標原點為O，直線l₁：y=-x+2與y軸交于點B．直線l₂：y=-$\frac{1}{2}$x+b與l₁交于點N（點N不與B重合）．設△OBN的面積分別為S，當0≤b≤1時，求S關于b的函數關系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 先求出y=-x+2和y=-$\frac{1}{2}$x+b的交點N的坐標，根據三角形的面積公式表示出三角形OBN的面積，根據一次函數的性質求出S的最大值．

解答 解：y=-x+2與y軸交于點B的坐標（0，2），
由題意得，$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=-\frac{1}{2}x+b}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=4-2b}\\{y=2b-2}\end{array}\right.$，
則點N的坐標（4-2b，2b-2），
△OBN的面積S=$\frac{1}{2}$×2×（4-2b）=4-2b，
即S=-2b+4，
∵-2＜0，
∴S隨b的增大而減小，
∴當x=0時，S有最大值4．

點評 本題考查的是兩條直線的交點的求法和一次函數的性質，列出二元一次方程組、解方程組求出交點坐標是解題的關鍵，注意數形結合思想的正確運用．