Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（8，0）、（0，2$\sqrt{3}$），C是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為D，動點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為E，連接BP、EC．當(dāng)BP所在直線與EC所在直線第一次垂直時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 先根據(jù)題意求得CD和PE的長，再判定△EPC∽△PDB，列出相關(guān)的比例式，求得DP的長，最后根據(jù)PE、DP的長得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（8，0），（0，2$\sqrt{3}$）
∴BO=$2\sqrt{3}$，AO=8
由CD⊥BO，C是AB的中點(diǎn)，可得BD=DO=$\frac{1}{2}$BO=$\sqrt{3}$=PE，CD=$\frac{1}{2}$AO=4
設(shè)DP=a，則CP=4-a
當(dāng)BP所在直線與EC所在直線第一次垂直時，設(shè)BP與CE交于點(diǎn)F，則∠FCP=∠DBP
又∵EP⊥CP，PD⊥BD
∴∠EPC=∠PDB=90°
∴△EPC∽△PDB
∴$\frac{DP}{PE}=\frac{DB}{PC}$，即$\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{4-a}$
解得a₁=1，a₂=3（舍去）
∴DP=1
又∵PE=$\sqrt{3}$
∴P（1，$\sqrt{3}$）
故答案為：（1，$\sqrt{3}$）

點(diǎn)評 本題主要考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．解題時注意：有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．