Question

已知等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，點(diǎn)D在直線AC上，且CD=2，連接BD，作BD的垂直平分線交三角形的兩邊于E、F，則EF的長為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),勾股定理

專題：分類討論

分析：如圖，作輔助線；首先證明DE=BE（設(shè)為μ），DF=BF（設(shè)為γ）；運(yùn)用勾股定理分別求出BE、BF、BD的長度；借助三角形的面積公式，列出關(guān)于EF的等式，求出EF即可解決問題．

解答：解：如圖，過點(diǎn)D作DG⊥AE于點(diǎn)G；
∵∠C=90°，AC=BC=4，
∴AB=

42+42

=4

2

，∠A=45°；
∵∠ADG=90°-45°=45°，
∴∠A=∠ADG，AG=DG（設(shè)為λ），
由勾股定理得：λ²+λ²=AD²，而AD=AC-2=2，
λ=

2

，BG=3

2

．
由勾股定理得：BD=2

5

；
∵EF⊥BD，且平分BD，
∴DE=BE（設(shè)為μ），DF=BF（設(shè)為γ），
∴GE=3

2

-μ，CF=4-γ；
在△DGE中，由勾股定理得：
(3

2

-μ)2+(

2

)2=μ2，
解得：μ=

5 2

3

；在△DCF中，
同理可求：γ=2.5；
∵S_{四邊形BEDF}=S_△BED+S_△BFD，
S四邊形BEDF=

1

2

BD•EF，
∴

1

2

BE•DG+

1

2

BF•DC=

1

2

BD•EF，
解得：EF=

5 5

6

．
故答案為

5 5

6

．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問題；牢固掌握勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)是靈活解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．