Question

11．已知正方形ABCD中，點E在邊CD上，DE=3，EC=1．點F是正方形邊上一點，且BF=AE，則FC=$\sqrt{17}$或3．

Answer 1

分析 由正方形的性質(zhì)得出BC=AB=AD=CD=DE+EC=4，∠BAD=∠C=∠D=90°，由勾股定理求出AE；分兩種情況：①當(dāng)點F在AD邊上時，由勾股定理求出AF，得出DF，在由勾股定理求出FC即可；②當(dāng)點F在CD邊上時，由勾股定理求出FC即可．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=DE+EC=4，∠BAD=∠C=∠D=90°，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
分兩種情況：
①當(dāng)點F在AD邊上時，如圖1所示：
∵BF=AE=5，
∴AF=$\sqrt{B{F}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴DF=AD-AF=1，
∴FC=$\sqrt{C{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$；
②當(dāng)點F在CD邊上時，如圖2所示：
∵BF=AE=5，
∴FC=$\sqrt{B{F}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3；
綜上所述：FC的長為$\sqrt{17}$或3；
故答案為：$\sqrt{17}$或3．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握正方形的性質(zhì)，由勾股定理求出AE是解決問題的突破口．