Question

9．如圖1，E為矩形ABCD邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B沿折線BE-ED-DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/s．若點(diǎn)P，Q同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△BPQ的面積為y（cm²）．已知y與t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2，有下列四個(gè)結(jié)論：①AE=6cm；②sin∠EBC=$\frac{4}{5}$；③當(dāng)0＜t≤10時(shí)，y=$\frac{2}{5}$t²； ④當(dāng)t=12s時(shí)，△PBQ是等腰三角形．其中正確結(jié)論的序號(hào)是①②③．

Answer 1

分析 由圖2可知，在點(diǎn)（10，40）至點(diǎn)（14，40）區(qū)間，△BPQ的面積不變，因此可推論BC=BE，由此分析動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程如下：
（1）在BE段，BP=BQ；持續(xù)時(shí)間10s，則BE=BC=10；y是t的二次函數(shù)；
（2）在ED段，y=40是定值，持續(xù)時(shí)間4s，則ED=4；
（3）在DC段，y持續(xù)減小直至為0，y是t的一次函數(shù)．

解答 解：（1）分析函數(shù)圖象可知，BC=10cm，ED=4cm，故AE=AD-ED=BC-ED=10-4=6cm，故①正確；
（2）如答圖1所示，連接EC，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，
由函數(shù)圖象可知，BC=BE=10cm，S_△BEC=40=$\frac{1}{2}$BC•EF=$\frac{1}{2}$×10×EF，∴EF=8，∴sin∠EBC=$\frac{EF}{BE}$，故②正確；
（3）如答圖2所示，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BQ于點(diǎn)G，
∵BQ=BP=t，
∴y=S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BQ•PG=$\frac{1}{2}$BQ•BP•sin∠EBC=$\frac{1}{2}$t•t•$\frac{4}{5}$=$\frac{2}{5}$t²．
故③正確；
（4）結(jié)論D錯(cuò)誤．理由如下：
當(dāng)t=12s時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到ED的中點(diǎn)，設(shè)為N，如答圖3所示，連接NB，NC．
此時(shí)AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=8$\sqrt{2}$，NC=2$\sqrt{17}$，
∵BC=10，
∴△BCN不是等腰三角形，即此時(shí)△PBQ不是等腰三角形．
故④錯(cuò)誤；
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，需要結(jié)合幾何圖形與函數(shù)圖象，認(rèn)真分析動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程．突破點(diǎn)在于正確判斷出BC=BE=10cm．