Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點(diǎn)E、F分別在邊AB，AD上，且AE=DF，連接BF與DE相交于點(diǎn)G，連接CG與BD相交于點(diǎn)H，若CG=4，則S_{四邊形BCDG}=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),含30度角的直角三角形

專(zhuān)題：

分析：先根據(jù)在菱形ABCD中，AB=BD判斷出△ABD為等邊三角形，故可得出∠A的度數(shù)，再由菱形的性質(zhì)求出∠BCD的度數(shù)，由三角形外角的性質(zhì)得出點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N，根據(jù)HL定理得出△CBM≌△CDN，由_{四邊形BCDG}=S_{四邊形CMGN}，S_{四邊形CMGN}=2S_△CMG即可得出結(jié)論．

解答：解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=AD．
∵AB=BD，
∴△ABD為等邊三角形．
∴∠A=∠BDF=60°．
∴∠BCD=60°，
∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，即∠BGD+∠BCD=180°，
∴點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．   
∴∠BGC=∠DGC=60°．
過(guò)點(diǎn)C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．
∴CM=CN，
在Rt△CBM與Rt△CDN中，

CM=CN BC=CD

，
∴△CBM≌△CDN（HL），
∴S_{四邊形BCDG}=S_{四邊形CMGN}．
S_{四邊形CMGN}=2S_△CMG，
∵∠CGM=60°，
∴GM=

1

2

CG，CM=

3

2

CG，
∴S_{四邊形CMGN}=2S_△CMG=2×

1

2

×

1

2

CG×

3

2

CG=

3

4

CG²=

3

4

×16=4

3

．
故答案為：4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解答此題的關(guān)鍵．