Question

4．如圖，在正方形ABCD外側(cè)作直線DE，點(diǎn)C關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為M，連接CM，AM，其中AM交直線DE于點(diǎn)N．若45°＜∠CDE＜90°，當(dāng)MN=3，AN=4時(shí)，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為（　�。�

• A． $\sqrt{7}$
• B． 5
• C． 5$\sqrt{2}$
• D． $\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 連接CN、DM、AC，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得CN=MN，CD=DM，∠DCN=∠DMN，根據(jù)正方形的四條邊都相等可得AD=CD，然后求出AD=DM，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠DAM=∠DMN，從而得到∠DCN=∠DAM，再求出∠ACN+∠CAN=90°，判斷出△ACN是直角三角形，然后利用勾股定理列式求出AC，再根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)等于對(duì)角線的$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍求解．

解答 解：如圖所示，連接CN、DM、AC，
∵點(diǎn)C關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為M，
∴CN=MN，CD=DM，∠DCN=∠DMN，
在正方形ABCD中，AD=CD，
∴AD=DM，
∴∠DAM=∠DMN，
∴∠DCN=∠DAM，
∵∠ACN+∠CAN=∠BCD-∠DCN+∠CAD+∠DAM=∠BCD+∠CAD=90°，
∴∠ANC=180°-90°=90°，
∴△ACN是直角三角形，
由勾股定理得，AC=$\sqrt{A{N}^{2}+C{N}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×5=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，勾股定理，作輔助線構(gòu)造出等腰三角形與直角三角形是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于把AN、MN的長(zhǎng)度以及正方形的對(duì)角線組成直角三角形．