Question

19．△ABC中，∠A=60°，BE，CF分別是∠ABC和∠ACB的平分線，CF與BE相交于點(diǎn)O．
（1）如圖1，若∠ACB=90°，求證：BF+CE=BC；
（2）如圖2，若∠ABC與∠ACB是任意角度，（1）中的結(jié)論是否仍成立？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，在CB上截取CM=CE，連接OM．首先證明△OCE≌△OCM，創(chuàng)造條件證明△OBF≌△OBM即可．
（2）如圖2中，在CB上截取CM=CE，連接OM．首先證明△OCE≌△OCM，創(chuàng)造條件證明△OBF≌△OBM即可．

解答 （1）證明：如圖1中，在CB上截取CM=CE，連接OM．

∵∠A=60°，∠ACB=90°，
又∵BE，CF分別是∠ABC和∠ACB的平分線，
∴∠FCA=∠FCB=45°，∠ABE=∠EBC=15°，
∴∠BFC=∠A+∠ACF=105°，∠CEB=∠A+∠ABE=75°
在△OCE和△OCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OC}\\{∠OCM=∠OCE}\\{CE=CM}\end{array}\right.$，
∴△OCE≌△OCM，
∴∠CEO=∠OEC=75°，
∴∠BMO=180°-∠CMO=105°，
∴∠BFO=∠BMO，
在△OBF或△OBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OB}\\{∠OBF=∠OBM}\\{∠BFO=∠BMO}\end{array}\right.$，
∴△OBF≌△OBM，
∴BF=BM，
∴BC=BM+CM=BF+CE．

（2）結(jié)論：成立，BC=BF+CE．
理由：如圖2中，在CB上截取CM=CE，連接OM．

∵∠A=60°，
∴$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=60°，
即∠ABE+∠ACF=60°，
∵∠BFO=∠A+∠FCA，∠CEO=∠A+∠ABE，
∴∠BFO+∠CEO=2∠A+∠FCA+∠ABE=180°，
由△OCM≌△OCE，得∠CEO=∠CMO，
∵∠CMO+∠BMO=180°，
∴∠BFO=∠BMO，
在△OBF或△OBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OB}\\{∠OBF=∠OBM}\\{∠BFO=∠BMO}\end{array}\right.$，
∴△OBF≌△OBM，
∴BF=BM，
∴BC=BM+CM=BF+CE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，這里的難點(diǎn)是角相等的證明，屬于中考�？碱}型．