Question

10．如圖，在?ABCD紙片中，∠A=60°，AD-AB=1，點E，F分別在邊CD，AB上，將紙片沿EF折疊，使點A，D分別落在點A′，D′，處，且AD經過點B．當D′E⊥CD時，CE=1，則AB的長是$\frac{3\sqrt{3}+5}{2}$．

Answer 1

分析 首先延長DC與A′D′的延長線交于點H，由四邊形ABCD是菱形與折疊的性質，易求得△BCH是等腰三角形，△D′FH是含30°角的直角三角形，然后設DE=x，利用正切函數的知識，即可求得答案．

解答 解：延長DC，交A′D′的延長線于H，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠A=60°，
∴∠D=120°，∠DCB=∠A=60°，
由翻轉變換的性質可知，∠ED′B=120°，
∴∠ED′H=60°，又D′E⊥CD，
∴∠H=30°，
∴∠CBH=30°，
∴CB=CH，
設DE=x，則DC=x+1，D′E=x，
∵AD-AB=1，
∴BC=x+1+1=x+2，
∴CH=x+2，
∴EH=x+3，
∵tan∠H=$\frac{ED′}{EH}$，
∴$\frac{x}{x+3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得，x=$\frac{3\sqrt{3}+3}{2}$，
∴AB=DC=$\frac{3\sqrt{3}+5}{2}$，
故答案為：$\frac{3\sqrt{3}+5}{2}$．

點評 本題考查了折疊的性質、菱形的性質、等腰三角形的判定與性質以及直角三角形的性質．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意折疊中的對應關系，注意數形結合思想的應用．