Question

13．如圖1，某人用一張面積為S的三角形紙片ABC剪出一個△EFP，記△EFP得面積為T，已知E，F(xiàn)，P分別是△ABC三邊上的三點，且EF∥BC．
（1）如圖2，若P與B重合，設$\frac{AE}{AB}$分別等于$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$時，△PEF的面積分別為T₁，T₂，T₃．
①T₁=$\frac{1}{4}$S，T₂=$\frac{2}{9}$S，T₃=$\frac{3}{16}$S；（用含S的式子表示）
②寫出T₃的求解過程．
（2）在（1）中T₁，T₂，T₃中的最大值是否是所有滿足條件的△EFP（P與B或C不一定重合）的面積的最大值？若不是，求出T的最大值；若是，請給予證明．

Answer 1

分析 （1）①作AD⊥BC于D，交EF于G，根據(jù)相似三角形的判定定理得到△AEF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質得到成比例線段，根據(jù)三角形的面積公式計算即可；
②T₃的求解過程見①中；
（2）設$\frac{AE}{AB}$=x，根據(jù)題意列出二次函數(shù)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質求出T的最大值判斷即可．

解答 解：（1）①作AD⊥BC于D，交EF于G，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AG}{AD}$=$\frac{AE}{AB}$，
當$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{2}$時，EF=$\frac{1}{2}$BC，AG=$\frac{1}{2}$AD，則DG=$\frac{1}{2}$AD，
T₁=$\frac{1}{2}$×EF×DG=$\frac{1}{4}$S，
當$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{3}$時，EF=$\frac{1}{3}$BC，AG=$\frac{1}{3}$AD，則DG=$\frac{2}{3}$AD，
T₂₌$\frac{1}{2}$×EF×DG=$\frac{2}{9}$S，
當$\frac{AE}{AB}$=$\frac{3}{4}$時，EF=$\frac{3}{4}$BC，AG=$\frac{3}{4}$AD，則DG=$\frac{1}{4}$AD，
T₃=$\frac{1}{2}$×EF×DG=$\frac{3}{16}$S；
②T₃的求解過程見①；
（2）T₁，T₂，T₃中的最大值是所有滿足條件的△EFP（P與B或C不一定重合）的面積的最大值，理由如下：
設$\frac{AE}{AB}$=x時，EF=xBC，AG=xAD，則DG=AD-xAD，
T=$\frac{1}{2}$×EF×DG=$\frac{1}{2}$×xBC×（AD-xAD）=（-x²+x）S，
當x=$\frac{1}{2}$時，T有最大值$\frac{1}{4}$S，
所以T₁，T₂，T₃中的最大值是所有滿足條件的△EFP（P與B或C不一定重合）的面積的最大值．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質、二次函數(shù)的性質，掌握相似三角形的判定定理和性質定理以及二次函數(shù)的性質的應用是解題的關鍵．