Question

17．如圖，點(diǎn)P是函數(shù)y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的圖象上的一點(diǎn)，⊙P的半徑為$\sqrt{2}$，當(dāng)⊙P與直線y=x有公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的取值范圍是（　　）

• A． 1≤x≤$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}-1≤x≤\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}-1≤x≤1$
• D． $\sqrt{2}-1≤x≤\sqrt{2}+1$

Answer 1

分析 如圖所示，P₁P₂即為⊙P與直線y=x有一個(gè)公共點(diǎn)的情況，點(diǎn)P只有在線段P₁P₂上，即符合題意，根據(jù)圖象的對(duì)稱性可知，△AP₁P₂是等腰直角三角形，求得AP₁=AP₂=2，設(shè)P₁（x₀，$\frac{1}{{x}_{0}}$），則P₂（x₀+2，$\frac{1}{{x}_{0}}$-2），則AP₁P₂的中點(diǎn)M在直線y=x上，得到M（x₀+1，$\frac{1}{{x}_{0}}$-1），解方程得到x₀=$\sqrt{2}$-1，x₀=-$\sqrt{2}$-1（不合題意，舍去），于是得到結(jié)論．

解答 解：如圖所示，P₁P₂即為⊙P與直線y=x有一個(gè)公共點(diǎn)的情況，
點(diǎn)P只有在線段P₁P₂上，即符合題意，
根據(jù)圖象的對(duì)稱性可知，△AP₁P₂是等腰直角三角形，
∵⊙P的半徑為$\sqrt{2}$，
∴P₁P₂=2$\sqrt{2}$，
∴AP₁=AP₂=2，
設(shè)P₁（x₀，$\frac{1}{{x}_{0}}$），則P₂（x₀+2，$\frac{1}{{x}_{0}}$-2），
則AP₁P₂的中點(diǎn)M在直線y=x上，
∴M（x₀+1，$\frac{1}{{x}_{0}}$-1），∴x₀+1=$\frac{1}{{x}_{0}}$-1，
解得：x₀=$\sqrt{2}$-1，x₀=-$\sqrt{2}$-1（不合題意，舍去），
∴P₁的橫坐標(biāo)是$\sqrt{2}$-1，P₂的橫坐標(biāo)是$\sqrt{2}$+1，
∴$\sqrt{2}$-1≤x≤$\sqrt{2}$+1，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，直線與圓的位置關(guān)系，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．