Question

17．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D為半圓O的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：CE為⊙O的切線；
（2）判斷四邊形AOCD的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接AC，由題意得$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{CB}$，∠DAC=∠CAB，即可證明AE∥OC，從而得出∠OCE=90°，即可證得結(jié)論；
（2）四邊形AOCD為菱形．由$\widehat{AD}$=$\widehat{CB}$，則∠DCA=∠CAB可證明四邊形AOCD是平行四邊形，再由OA=OC，即可證明平行四邊形AOCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．

解答 解：（1）連接AC，
∵點(diǎn)CD是半圓O的三等分點(diǎn)，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{CB}$，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AE∥OC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）
∴∠OCE+∠E=180°，
∵CE⊥AD，
∴∠OCE=90°，
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切線；

（2）四邊形AOCD為菱形．
理由是：
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{CB}$，
∴∠DCA=∠CAB，
∴CD∥OA，
又∵AE∥OC，
∴四邊形AOCD是平行四邊形，
∵OA=OC，
∴平行四邊形AOCD是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)，是中學(xué)階段的重點(diǎn)內(nèi)容．