Question

如圖①，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F(xiàn)為AE上一點，且FD⊥BC與點D．
（1）當∠B=45°，∠C=75°時，求∠EFD的度數(shù)；
（2）通過（1）的運算，你能猜想出∠EFD、∠C、∠B之間數(shù)量關(guān)系，請直接寫出答案

 

（3）當點F在AE的延長線上時，如圖②，其余條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？為什么？

Answer 1

考點：三角形的外角性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,角平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BAE，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可得解；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義表示出∠BAE，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和表示出∠AEC，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式整理即可得解；
（3）結(jié)論仍然成立．根據(jù)（2）可以得到∠AEC=90°+

1

2

（∠B-∠C），根據(jù)對頂角相等即可求得∠DEF，然后利用直角三角形的兩個銳角互余即可求解．

解答：解：（1）∵∠C=75°，∠B=45°，
∴∠BAC=180°-∠C-∠B=180°-75°-45°=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=

1

2

∠BAC=

1

2

×60°=30°，
由三角形的外角性質(zhì)得，∠AEC=∠B+∠BAE=45°+30°=75°；


（2）由三角形的內(nèi)角和定理得，∠BAC=180°-∠C-∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠C-∠B），
由三角形的外角性質(zhì)得，∠AEC=∠B+∠BAE=∠B+

1

2

（180°-∠C-∠B）=90°+

1

2

（∠B-∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠EFD=90°-∠AEC=90°-90°-

1

2

（∠B-∠C）=

1

2

（∠C-∠B），
即∠EFD=

1

2

（∠C-∠B）；

（3）結(jié)論∠EFD=

1

2

（∠C-∠B）仍然成立．
同（2）可證：∠AEC=90°+

1

2

（∠B-∠C），
∴∠DEF=∠AEC=90°+

1

2

（∠B-∠C），
∴∠EFD=90°-[90°+

1

2

（∠B-∠C）]
=

1

2

（∠C-∠B）．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，要注意整體思想的利用．